論文の概要: Bayesian ODE Solvers: The Maximum A Posteriori Estimate

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2004.00623v2
• Date: Tue, 12 Jan 2021 16:12:21 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-12-17 19:33:24.427356
• Title: Bayesian ODE Solvers: The Maximum A Posteriori Estimate
• Title（参考訳）: Bayesian ODE Solvers: The Maximum A Posteriori Estimate
• Authors: Filip Tronarp, Simo Sarkka, Philipp Hennig
• Abstract要約: 常微分方程式の数値解は非線形ベイズ推論問題として当てはまることが確立されている。 後方推定の最大値は、前者に関連するヒルベルト空間の最適補間と一致する。 開発された方法論は、これらの推定器の収束を研究するための、新しくより自然なアプローチを提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 30.767328732475956
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: It has recently been established that the numerical solution of ordinary differential equations can be posed as a nonlinear Bayesian inference problem, which can be approximately solved via Gaussian filtering and smoothing, whenever a Gauss--Markov prior is used. In this paper the class of $\nu$ times differentiable linear time invariant Gauss--Markov priors is considered. A taxonomy of Gaussian estimators is established, with the maximum a posteriori estimate at the top of the hierarchy, which can be computed with the iterated extended Kalman smoother. The remaining three classes are termed explicit, semi-implicit, and implicit, which are in similarity with the classical notions corresponding to conditions on the vector field, under which the filter update produces a local maximum a posteriori estimate. The maximum a posteriori estimate corresponds to an optimal interpolant in the reproducing Hilbert space associated with the prior, which in the present case is equivalent to a Sobolev space of smoothness $\nu+1$. Consequently, using methods from scattered data approximation and nonlinear analysis in Sobolev spaces, it is shown that the maximum a posteriori estimate converges to the true solution at a polynomial rate in the fill-distance (maximum step size) subject to mild conditions on the vector field. The methodology developed provides a novel and more natural approach to study the convergence of these estimators than classical methods of convergence analysis. The methods and theoretical results are demonstrated in numerical examples.
• Abstract（参考訳）: 近年,正規微分方程式の数値解を非線形ベイズ推定問題として定式化できることが確立されており,ガウス・マルコフ前駆体を用いると,ガウスフィルタリングや平滑化によって近似的に解くことができる。 ガウス推定値の分類が確立され、階層の最上部に最大後方推定値が設定され、反復された拡張カルマン平滑化によって計算できる。 残りの3つのクラスは明示的、半単純、暗黙的と呼ばれ、これはベクトル場の条件に対応する古典的概念と類似しており、その下にフィルタ更新が局所的な最大a後方推定を生成する。 最大後続推定は、前項に付随する再生ヒルベルト空間の最適補間に対応し、この場合、滑らか性のソボレフ空間 $\nu+1$ と等価である。 その結果, ソボレフ空間における散乱データ近似と非線形解析の手法を用いて, ベクトル場上の緩やかな条件下での補間距離(最大ステップサイズ)の多項式速度で, 最大アフター推定値が真の解に収束することを示した。 開発された手法は、古典的収束解析法よりも、これらの推定器の収束を研究するための新しい、より自然なアプローチを提供する。 これらの方法と理論的結果は数値的な例で示される。

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