論文の概要: Space-time deep neural network approximations for high-dimensional partial differential equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2006.02199v1
• Date: Wed, 3 Jun 2020 12:14:56 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-25 18:46:57.366447
• Title: Space-time deep neural network approximations for high-dimensional partial differential equations
• Title（参考訳）: 高次元偏微分方程式に対する時空ディープニューラルネットワーク近似
• Authors: Fabian Hornung, Arnulf Jentzen, Diyora Salimova
• Abstract要約: 深層学習近似は次元性の呪いを克服する能力を持っているかもしれない。 この記事では、任意の$ainmathbbR$, $ bin (a,infty)$に対して、あるコルモゴロフ PDE の解が次元性の呪いなしで DNN によって近似できることを証明する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.1055643409860743
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: It is one of the most challenging issues in applied mathematics to approximately solve high-dimensional partial differential equations (PDEs) and most of the numerical approximation methods for PDEs in the scientific literature suffer from the so-called curse of dimensionality in the sense that the number of computational operations employed in the corresponding approximation scheme to obtain an approximation precision $\varepsilon>0$ grows exponentially in the PDE dimension and/or the reciprocal of $\varepsilon$. Recently, certain deep learning based approximation methods for PDEs have been proposed and various numerical simulations for such methods suggest that deep neural network (DNN) approximations might have the capacity to indeed overcome the curse of dimensionality in the sense that the number of real parameters used to describe the approximating DNNs grows at most polynomially in both the PDE dimension $d\in\mathbb{N}$ and the reciprocal of the prescribed accuracy $\varepsilon>0$. There are now also a few rigorous results in the scientific literature which substantiate this conjecture by proving that DNNs overcome the curse of dimensionality in approximating solutions of PDEs. Each of these results establishes that DNNs overcome the curse of dimensionality in approximating suitable PDE solutions at a fixed time point $T>0$ and on a compact cube $[a,b]^d$ in space but none of these results provides an answer to the question whether the entire PDE solution on $[0,T]\times [a,b]^d$ can be approximated by DNNs without the curse of dimensionality. It is precisely the subject of this article to overcome this issue. More specifically, the main result of this work in particular proves for every $a\in\mathbb{R}$, $ b\in (a,\infty)$ that solutions of certain Kolmogorov PDEs can be approximated by DNNs on the space-time region $[0,T]\times [a,b]^d$ without the curse of dimensionality.
• Abstract（参考訳）: It is one of the most challenging issues in applied mathematics to approximately solve high-dimensional partial differential equations (PDEs) and most of the numerical approximation methods for PDEs in the scientific literature suffer from the so-called curse of dimensionality in the sense that the number of computational operations employed in the corresponding approximation scheme to obtain an approximation precision $\varepsilon>0$ grows exponentially in the PDE dimension and/or the reciprocal of $\varepsilon$. 近年, 深層学習に基づくPDEの近似法が提案されており, 深部ニューラルネットワーク(DNN)近似は, PDE次元の$d\in\mathbb{N}$と所定精度の$\varepsilon>0$の両方において, 近似DNNを記述するために用いられる実パラメータの数が多項式的に増加するという意味で, 次元性の呪いを克服する能力を持つ可能性が示唆されている。 現在では、DNNがPDEの近似解における次元性の呪いを克服していることを証明することによって、この予想を裏付ける科学文献に厳密な結果がいくつかある。 これらの結果は、DNN が適当な PDE 解を固定時間点 $T>0$ で近似し、コンパクトな立方体 $[a,b]^d$ で空間で近似することで、次元性の呪いを克服することを証明しているが、これらの結果は、次元性の呪いを伴わない DNN で PDE 解全体が $[0,T]\times [a,b]^d$ で近似できるかどうかという疑問に対する答えを与えていない。 この問題を克服するのはまさにこの記事の主題である。 より具体的には、この研究の主な結果は、任意の$a\in\mathbb{R}$, $ b\in (a,\infty)$に対して、あるコルモゴロフ PDE の解が時空領域 $[0,T]\times [a,b]^d$ 上の DNN によって次元の呪いなしで近似できることを証明している。

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