論文の概要: On the Representation of Solutions to Elliptic PDEs in Barron Spaces
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2106.07539v1
- Date: Mon, 14 Jun 2021 16:05:07 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-06-15 15:28:50.406446
- Title: On the Representation of Solutions to Elliptic PDEs in Barron Spaces
- Title（参考訳）: バロン空間における楕円型PDE解の表現について
- Authors: Ziang Chen, Jianfeng Lu, Yulong Lu
- Abstract要約: 本稿では、バロン空間における$d$次元2階楕円型PDEの解の複雑性推定を導出する。
複雑性推定の直接的な結果として、PDEの解は2層ニューラルネットワークによって任意の有界領域上で近似することができる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.875204185976777
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Numerical solutions to high-dimensional partial differential equations (PDEs)
based on neural networks have seen exciting developments. This paper derives
complexity estimates of the solutions of $d$-dimensional second-order elliptic
PDEs in the Barron space, that is a set of functions admitting the integral of
certain parametric ridge function against a probability measure on the
parameters. We prove under some appropriate assumptions that if the
coefficients and the source term of the elliptic PDE lie in Barron spaces, then
the solution of the PDE is $\epsilon$-close with respect to the $H^1$ norm to a
Barron function. Moreover, we prove dimension-explicit bounds for the Barron
norm of this approximate solution, depending at most polynomially on the
dimension $d$ of the PDE. As a direct consequence of the complexity estimates,
the solution of the PDE can be approximated on any bounded domain by a
two-layer neural network with respect to the $H^1$ norm with a
dimension-explicit convergence rate.
- Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークに基づく高次元偏微分方程式(PDE)の数値解は、エキサイティングな発展を遂げている。
本稿では、バロン空間における$d$次元2階楕円型PDEの解の複雑性推定を導出する。これはパラメータ上の確率測度に対してあるパラメトリックリッジ関数の積分を許容する関数の集合である。
いくつかの適切な仮定の下で、楕円型PDEの係数と原項がバロン空間にあるなら、PDEの解はバロン函数のノルムに対して$H^1$-閉である。
さらに、この近似解のバロンノルムの次元-明示境界は、PDEの次元$d$の多項式によって証明される。
複雑性推定の直接的な結果として、pdeの解は次元指数収束率の$h^1$ノルムに関する2層ニューラルネットワークによって任意の有界領域上で近似することができる。
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