論文の概要: Space-time deep neural network approximations for high-dimensional partial differential equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2006.02199v2
• Date: Mon, 3 Jun 2024 15:54:30 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-06-07 05:08:03.943774
• Title: Space-time deep neural network approximations for high-dimensional partial differential equations
• Title（参考訳）: 高次元偏微分方程式に対する時空間ディープニューラルネットワーク近似
• Authors: Fabian Hornung, Arnulf Jentzen, Diyora Salimova,
• Abstract要約: 深層学習近似は次元性の呪いを克服する能力を持っているかもしれない。 この記事では、任意の$ainmathbbR$, $ bin (a,infty)$に対して、あるコルモゴロフ PDE の解が次元性の呪いなしで DNN によって近似できることを証明する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.6185342807265415
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: It is one of the most challenging issues in applied mathematics to approximately solve high-dimensional partial differential equations (PDEs) and most of the numerical approximation methods for PDEs in the scientific literature suffer from the so-called curse of dimensionality in the sense that the number of computational operations employed in the corresponding approximation scheme to obtain an approximation precision $\varepsilon>0$ grows exponentially in the PDE dimension and/or the reciprocal of $\varepsilon$. Recently, certain deep learning based approximation methods for PDEs have been proposed and various numerical simulations for such methods suggest that deep neural network (DNN) approximations might have the capacity to indeed overcome the curse of dimensionality in the sense that the number of real parameters used to describe the approximating DNNs grows at most polynomially in both the PDE dimension $d\in\mathbb{N}$ and the reciprocal of the prescribed accuracy $\varepsilon>0$. There are now also a few rigorous results in the scientific literature which substantiate this conjecture by proving that DNNs overcome the curse of dimensionality in approximating solutions of PDEs. Each of these results establishes that DNNs overcome the curse of dimensionality in approximating suitable PDE solutions at a fixed time point $T>0$ and on a compact cube $[a,b]^d$ in space but none of these results provides an answer to the question whether the entire PDE solution on $[0,T]\times [a,b]^d$ can be approximated by DNNs without the curse of dimensionality. It is precisely the subject of this article to overcome this issue. More specifically, the main result of this work in particular proves for every $a\in\mathbb{R}$, $ b\in (a,\infty)$ that solutions of certain Kolmogorov PDEs can be approximated by DNNs on the space-time region $[0,T]\times [a,b]^d$ without the curse of dimensionality.
• Abstract（参考訳）: 応用数学において、高次元偏微分方程式(PDE)を近似的に解くことが最も難しい問題の一つであり、科学文献におけるPDEの数値近似法は、対応する近似スキームで用いられる計算演算の数が PDE 次元および/または $\varepsilon$ の逆数で指数関数的に増加するという意味で、いわゆる次元の呪いに苦しむ。 近年, 深層学習に基づくPDEの近似法が提案されており, 深部ニューラルネットワーク(DNN)近似は, PDE次元の$d\in\mathbb{N}$と所定精度の$\varepsilon>0$の両方において, 近似DNNを記述するために用いられる実パラメータの数が多項式的に増加するという意味で, 次元性の呪いを克服する能力を持つ可能性が示唆されている。 現在では、DNNがPDEの近似解における次元性の呪いを克服していることを証明することによって、この予想を裏付ける科学文献に厳密な結果がいくつかある。 これらの結果は、DNN が適当な PDE 解を一定時間点 $T>0$ で近似し、コンパクトな立方体 $[a,b]^d$ で空間で近似することで、次元性の呪いを克服することを証明しているが、これらの結果は、次元性の呪いを伴わない DNN で PDE 解全体が $[0,T]\times [a,b]^d$ で近似できるかどうかという疑問に対する答えを与えていない。 この問題を克服するのはまさにこの記事の主題である。 より具体的には、この研究の主な結果は、任意の$a\in\mathbb{R}$, $ b\in (a,\infty)$に対して、あるコルモゴロフ PDE の解は時空領域 $[0,T]\times [a,b]^d$ の時空領域 $[0,T]\times [a,b]^d$ の DNN によって近似可能であることを証明している。

関連論文リスト

• Deep neural networks with ReLU, leaky ReLU, and softplus activation provably overcome the curse of dimensionality for space-time solutions of semilinear partial differential equations [3.3123773366516645]
  これは高次元非線形偏微分方程式(PDE)を解くための応用数学の難題である。 深層ニューラルネットワーク(DNN)を用いてPDEの解を近似する深層学習(DL)に基づくPDEの手法を提案する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2024-06-16T09:59:29Z)
• Unisolver: PDE-Conditional Transformers Are Universal PDE Solvers [55.0876373185983]
  広範にPDEを解くことができるUniversal PDEソルバ(Unisolver)を提案する。 私たちの重要な発見は、PDEソリューションが基本的に一連のPDEコンポーネントの制御下にあることです。 Unisolverは3つの挑戦的な大規模ベンチマークにおいて、一貫した最先端の結果を達成する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2024-05-27T15:34:35Z)
• Deep Equilibrium Based Neural Operators for Steady-State PDEs [100.88355782126098]
  定常PDEに対する重み付けニューラルネットワークアーキテクチャの利点について検討する。 定常PDEの解を直接解くFNOアーキテクチャの深い平衡変種であるFNO-DEQを提案する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2023-11-30T22:34:57Z)
• Deep neural networks with ReLU, leaky ReLU, and softplus activation provably overcome the curse of dimensionality for Kolmogorov partial differential equations with Lipschitz nonlinearities in the $L^p$-sense [3.3123773366516645]
  我々は、ディープニューラルネットワーク(DNN)が、次元の呪い(COD)を伴わずにPDE解を近似する表現力を持っていることを示す。 この成果を一般化するためにこの研究の重要な貢献は、$pin(0,infty)$で$Lp$-senseでこのステートメントを確立することである。
  論文  参考訳（メタデータ） (2023-09-24T18:58:18Z)
• Tackling the Curse of Dimensionality with Physics-Informed Neural Networks [24.86574584293979]
  我々は、任意の高次元PDEを解決するために、物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)をスケールアップする新しい方法を開発した。 本研究では,提案手法が多くの高次元PDEを解くことができることを示す。
  論文  参考訳（メタデータ） (2023-07-23T12:18:12Z)
• Solving High-Dimensional PDEs with Latent Spectral Models [74.1011309005488]
  我々は,高次元PDEの効率的かつ高精度な解法に向けて,Latent Spectral Models (LSM) を提案する。 数値解析において古典スペクトル法に着想を得て,潜時空間におけるPDEを解くために,ニューラルスペクトルブロックを設計する。 LSMは、一貫した最先端を実現し、7つのベンチマークで平均11.5%の相対的な利益を得る。
  論文  参考訳（メタデータ） (2023-01-30T04:58:40Z)
• MAgNet: Mesh Agnostic Neural PDE Solver [68.8204255655161]
  気候予測は、流体シミュレーションにおける全ての乱流スケールを解決するために、微細な時間分解能を必要とする。 現在の数値モデル解法 PDEs on grids that too coarse (3km～200km on each side) 本研究では,空間的位置問合せが与えられたPDEの空間的連続解を予測する新しいアーキテクチャを設計する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2022-10-11T14:52:20Z)
• Neural Q-learning for solving PDEs [0.0]
  我々は,強化学習にQ-ラーニングアルゴリズムを適用し,楕円型PDEを解くための新しい数値法を開発した。 我々の「Q-PDE」アルゴリズムはメッシュフリーであり、従って次元の呪いを克服する可能性がある。 楕円型PDEに対するQ-PDEアルゴリズムの数値計算性能について検討した。
  論文  参考訳（メタデータ） (2022-03-31T15:52:44Z)
• Lie Point Symmetry Data Augmentation for Neural PDE Solvers [69.72427135610106]
  本稿では,ニューラルPDEソルバサンプルの複雑性を改善することにより,この問題を部分的に緩和する手法を提案する。 PDEの文脈では、データ変換の完全なリストを定量的に導き出せることが分かりました。 神経性PDEソルバサンプルの複雑さを桁違いに改善するために、どのように容易に展開できるかを示す。
  論文  参考訳（メタデータ） (2022-02-15T18:43:17Z)
• On the Representation of Solutions to Elliptic PDEs in Barron Spaces [9.875204185976777]
  本稿では、バロン空間における$d$次元2階楕円型PDEの解の複雑性推定を導出する。 複雑性推定の直接的な結果として、PDEの解は2層ニューラルネットワークによって任意の有界領域上で近似することができる。
  論文  参考訳（メタデータ） (2021-06-14T16:05:07Z)
• dNNsolve: an efficient NN-based PDE solver [62.997667081978825]
  ODE/PDEを解決するためにデュアルニューラルネットワークを利用するdNNsolveを紹介します。 我々は,dNNsolveが1,2,3次元の幅広いODE/PDEを解くことができることを示す。
  論文  参考訳（メタデータ） (2021-03-15T19:14:41Z)

関連論文リストは本サイト内にある論文のタイトル・アブストラクトから自動的に作成しています。

指定された論文の情報です。
本サイトの運営者は本サイト（すべての情報・翻訳含む）の品質を保証せず、本サイト（すべての情報・翻訳含む）を使用して発生したあらゆる結果について一切の責任を負いません。