論文の概要: Operator-valued formulas for Riemannian Gradient and Hessian and families of tractable metrics

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2009.10159v2
• Date: Tue, 29 Jun 2021 22:06:30 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-10-16 04:41:42.214508
• Title: Operator-valued formulas for Riemannian Gradient and Hessian and families of tractable metrics
• Title（参考訳）: リーマン勾配とヘッシアンの作用素値公式と可搬計量の族
• Authors: Du Nguyen
• Abstract要約: 非コンスタント距離関数を持つ内積空間に埋め込まれた多様体の商式を提供する。 多様体最適化や機械学習で使用できる潜在的なメトリクスのリストを拡張します。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We provide an explicit formula for the Levi-Civita connection and Riemannian Hessian for a Riemannian manifold that is a quotient of a manifold embedded in an inner product space with a non-constant metric function. Together with a classical formula for projection, this allows us to evaluate Riemannian gradient and Hessian for several families of metrics on classical manifolds, including a family of metrics on Stiefel manifolds connecting both the constant and canonical ambient metrics with closed-form geodesics. Using these formulas, we derive Riemannian optimization frameworks on quotients of Stiefel manifolds, including flag manifolds, and a new family of complete quotient metrics on the manifold of positive-semidefinite matrices of fixed rank, considered as a quotient of a product of Stiefel and positive-definite matrix manifold with affine-invariant metrics. The method is procedural, and in many instances, the Riemannian gradient and Hessian formulas could be derived by symbolic calculus. The method extends the list of potential metrics that could be used in manifold optimization and machine learning.
• Abstract（参考訳）: 我々は、非定数距離函数を持つ内積空間に埋め込まれた多様体の商であるリーマン多様体に対するレヴィ・シビタ接続とリーマン・ヘッシアンに対する明示的な公式を提供する。 射影の古典公式と合わせて、古典多様体上のいくつかの計量の族に対してリーマン勾配とヘシアンを評価することができ、例えば、定常および正準周囲計量と閉形式測地線を接続するスティーフェル多様体上の計量の族を含む。 これらの公式を用いて、旗多様体を含むスティーフェル多様体の商に関するリーマン最適化の枠組みと、アフィン不変計量を持つスティーフェルおよび正定値行列の積の商と見なされる固定階の正定値行列の多様体上の完備商計量の新しい族を導出する。 この方法は手続き的であり、多くの例ではリーマン勾配やヘッセン公式は記号計算によって導出することができる。 この方法は、多様体最適化や機械学習で使用できる潜在的なメトリクスのリストを拡張する。

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