論文の概要: Product Geometries on Cholesky Manifolds with Applications to SPD Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.02607v1
• Date: Tue, 2 Jul 2024 18:46:13 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-07-04 18:24:13.185232
• Title: Product Geometries on Cholesky Manifolds with Applications to SPD Manifolds
• Title（参考訳）: コレスキー多様体上の積測地とSPD多様体への応用
• Authors: Ziheng Chen, Yue Song, Xiao-Jun Wu, Nicu Sebe,
• Abstract要約: シンメトリー正定値(SPD)多様体上の2つの新しい測度をコレスキー多様体を通して提示する。 私たちのメトリクスは使いやすく、計算効率が良く、数値的に安定しています。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 65.04845593770727
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: This paper presents two new metrics on the Symmetric Positive Definite (SPD) manifold via the Cholesky manifold, i.e., the space of lower triangular matrices with positive diagonal elements. We first unveil that the existing popular Riemannian metric on the Cholesky manifold can be generally characterized as the product metric of a Euclidean metric and a Riemannian metric on the space of n-dimensional positive vectors. Based on this analysis, we propose two novel metrics on the Cholesky manifolds, i.e., Diagonal Power Euclidean Metric and Diagonal Generalized Bures-Wasserstein Metric, which are numerically stabler than the existing Cholesky metric. We also discuss the gyro structures and deformed metrics associated with our metrics. The gyro structures connect the linear and geometric properties, while the deformed metrics interpolate between our proposed metrics and the existing metric. Further, by Cholesky decomposition, the proposed deformed metrics and gyro structures are pulled back to SPD manifolds. Compared with existing Riemannian metrics on SPD manifolds, our metrics are easy to use, computationally efficient, and numerically stable.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、コレスキー多様体を通して対称正定値(SPD)多様体上の2つの新しい測度、すなわち正の対角要素を持つ下方三角形行列の空間を示す。 最初に、コレスキー多様体上の既存のリーマン計量が、一般にユークリッド計量の積計量と n-次元正ベクトルの空間上のリーマン計量として特徴づけられることを明らかにした。 この分析に基づいて、コレスキー多様体上の2つの新しい計量、すなわち、既存のコレスキー計量よりも数値的に安定な対角パワーユークリッド計量と対角一般化ビューレス=ワッサーシュタイン計量を提案する。 また、メトリクスに関連するジャイロ構造や変形メトリクスについても論じます。 ジャイロ構造は線形および幾何学的性質を結合し、デフォルメトリは提案したメトリクスと既存のメトリクスの間に相互に交差する。 さらに、チョレスキー分解により、提案された変形計量とジャイロ構造はSPD多様体に引き戻される。 SPD多様体上の既存のリーマン測度と比較すると、我々の測度は使いやすく、計算効率が良く、数値的に安定である。

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