論文の概要: Closed-form geodesics and trust-region method to calculate Riemannian
logarithms on Stiefel and its quotient manifolds
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2103.13327v1
- Date: Fri, 12 Mar 2021 16:48:38 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-04-05 00:59:49.264574
- Title: Closed-form geodesics and trust-region method to calculate Riemannian
logarithms on Stiefel and its quotient manifolds
- Title（参考訳）: スティーフェルとその商多様体上のリーマン対数を計算する閉形式測地学と信頼領域法
- Authors: Du Nguyen
- Abstract要約: Stiefel多様体上の測度群に対して、2つの正の数でパラメータ化される2つの閉形式測地式を提供する。
多様体上の2つの終点間の対数写像と測地距離は、その2乗距離を信頼領域ソルバで最小化することで計算できることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We provide two closed-form geodesic formulas for a family of metrics on
Stiefel manifold, parameterized by two positive numbers, having both the
embedded and canonical metrics as special cases. The closed-form formulas allow
us to compute geodesics by matrix exponential in reduced dimension for low-rank
manifolds. Combining with the use of Fr{\'e}chet derivatives to compute the
gradient of the square Frobenius distance between a geodesic ending point to a
given point on the manifold, we show the logarithm map and geodesic distance
between two endpoints on the manifold could be computed by {\it minimizing}
this square distance by a {\it trust-region} solver. This leads to a new
framework to compute the geodesic distance for manifolds with known geodesic
formula but no closed-form logarithm map. We show the approach works well for
Stiefel as well as flag manifolds. The logarithm map could be used to compute
the Riemannian center of mass for these manifolds equipped with the above
metrics. We also deduce simple trigonometric formulas for the Riemannian
exponential and logarithm maps on the Grassmann manifold.
- Abstract（参考訳）: 2つの閉形式の測地線式をスティーフェル多様体上の計量の族に与え, 2つの正の数でパラメータ化し, 埋め込み計量と標準計量の両方を特別な場合とする。
閉形式公式は、低ランク多様体の縮小次元における行列指数による測地学の計算を可能にする。
多様体上の測地線終点から与えられた点への正方形のフロベニウス距離の勾配を計算するためにfr{\'e}chet微分を用いることで、多様体上の2つの端点の間の対数写像と測地線距離を、この平方距離を {\it 信頼領域解によって最小化することで計算できることを示した。
これにより、既知の測地線公式を持つが閉形式の対数写像を持たない多様体の測地線距離を計算する新しい枠組みが導かれる。
このアプローチは、Stiefel やフラッグ多様体にも有効であることを示す。
対数写像は、上記の計量を備えたこれらの多様体のリーマン中心の計算に使うことができる。
また、グラスマン多様体上のリーマン指数および対数写像に対する単純な三角公式を導出する。
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