論文の概要: Approximate Unitary 3-Designs from Transvection Markov Chains
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2011.00128v2
- Date: Tue, 25 May 2021 20:55:48 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-26 07:31:19.470187
- Title: Approximate Unitary 3-Designs from Transvection Markov Chains
- Title（参考訳）: 移動マルコフ鎖からの近似ユニタリ3設計
- Authors: Xinyu Tan, Narayanan Rengaswamy, and Robert Calderbank
- Abstract要約: 我々は、Kerdockの2ドル設計とシンプレクティック・トランスベクションを混合したマルコフ・プロセスを構築し、このプロセスが$epsilon$-approximate Unitary $3$-designを生成することを示す。
ハードウェアの観点から見れば、2ドル(約2,400円)の対流は、トラップイオン量子コンピュータのネイティブな2ドル(約2,400円)の演算を形成するモルマー・ソレンセンゲートに正確にマッピングされる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.0586855806896045
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Unitary $k$-designs are probabilistic ensembles of unitary matrices whose
first $k$ statistical moments match that of the full unitary group endowed with
the Haar measure. In prior work, we showed that the automorphism group of
classical $\mathbb{Z}_4$-linear Kerdock codes maps to a unitary $2$-design,
which established a new classical-quantum connection via graph states. In this
paper, we construct a Markov process that mixes this Kerdock $2$-design with
symplectic transvections, and show that this process produces an
$\epsilon$-approximate unitary $3$-design. We construct a graph whose vertices
are Pauli matrices, and two vertices are connected by directed edges if and
only if they commute. A unitary ensemble that is transitive on vertices, edges,
and non-edges of this Pauli graph is an exact $3$-design, and the stationary
distribution of our process possesses this property. With respect to the
symmetries of Kerdock codes, the Pauli graph has two types of edges; the
Kerdock $2$-design mixes edges of the same type, and the transvections mix the
types. More precisely, on $m$ qubits, the process samples
$O(\log(N^5/\epsilon))$ random transvections, where $N = 2^m$, followed by a
random Kerdock $2$-design element and a random Pauli matrix. Hence, the
simplicity of the protocol might make it attractive for several applications.
From a hardware perspective, $2$-qubit transvections exactly map to the
M{\o}lmer-S{\o}rensen gates that form the native $2$-qubit operations for
trapped-ion quantum computers. Thus, it might be possible to extend our work to
construct an approximate $3$-design that only involves such $2$-qubit
transvections.
- Abstract（参考訳）: unitary $k$-designs はユニタリ行列の確率的アンサンブルであり、最初の $k$ 統計モーメントはハール測度が与えられた全ユニタリ群と一致する。
先行研究において、古典 $\mathbb{Z}_4$-linear Kerdock 符号の自己同型群はユニタリな 2$-design に写像し、グラフ状態を介して新しい古典量子接続を確立することを示した。
本稿では、このKerdock 2$-designとシンプレクティック・トランスベクションを混合したマルコフプロセスを構築し、このプロセスが$\epsilon$-approximate unitary $3$-designを生成することを示す。
我々は、頂点がパウリ行列であるグラフを構築し、2つの頂点が有向エッジで連結であることは、それらが可換であるときに限る。
このパウリグラフの頂点、辺、および非辺に推移的なユニタリアンサンブルは、正確に3$-設計であり、我々の過程の定常分布はこの性質を持つ。
ケルドック符号の対称性に関して、ポーリグラフは2種類のエッジを持ち、kerdock 2$-designは同一タイプのエッジを混合し、transvectionsはタイプを混合する。
より正確には、$m$ qubitsでは、プロセスは$O(\log(N^5/\epsilon))$ランダムな対流をサンプリングし、$N = 2^m$ となり、続いてランダムな Kerdock 2$-design 要素とランダムな Pauli 行列が続く。
したがって、プロトコルの単純さはいくつかのアプリケーションにとって魅力的かもしれない。
ハードウェアの観点から見れば、2ドル(約2,400円)の対流は、トラップイオン量子コンピュータのネイティブな2ドル(約2,400円)の演算を形成するM{\o}lmer-S{\o}rensenゲートに正確にマッピングされる。
したがって、この2ドルのキュービット変換のみを含む約3ドルの設計を構築するために、私たちの作業を拡張することが可能かもしれません。
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