論文の概要: Modern Koopman Theory for Dynamical Systems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2102.12086v1
- Date: Wed, 24 Feb 2021 06:18:16 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-02-25 13:20:24.792636
- Title: Modern Koopman Theory for Dynamical Systems
- Title（参考訳）: 力学系に対する現代クープマン理論
- Authors: Steven L. Brunton, Marko Budi\v{s}i\'c, Eurika Kaiser, J. Nathan Kutz
- Abstract要約: 現代のクープマン作用素論を概観し、最近の理論とアルゴリズムの発展について述べる。
また、急速に成長する機械学習分野における重要な進歩と課題についても論じる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.5889588665122725
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The field of dynamical systems is being transformed by the mathematical tools
and algorithms emerging from modern computing and data science.
First-principles derivations and asymptotic reductions are giving way to
data-driven approaches that formulate models in operator theoretic or
probabilistic frameworks. Koopman spectral theory has emerged as a dominant
perspective over the past decade, in which nonlinear dynamics are represented
in terms of an infinite-dimensional linear operator acting on the space of all
possible measurement functions of the system. This linear representation of
nonlinear dynamics has tremendous potential to enable the prediction,
estimation, and control of nonlinear systems with standard textbook methods
developed for linear systems. However, obtaining finite-dimensional coordinate
systems and embeddings in which the dynamics appear approximately linear
remains a central open challenge. The success of Koopman analysis is due
primarily to three key factors: 1) there exists rigorous theory connecting it
to classical geometric approaches for dynamical systems, 2) the approach is
formulated in terms of measurements, making it ideal for leveraging big-data
and machine learning techniques, and 3) simple, yet powerful numerical
algorithms, such as the dynamic mode decomposition (DMD), have been developed
and extended to reduce Koopman theory to practice in real-world applications.
In this review, we provide an overview of modern Koopman operator theory,
describing recent theoretical and algorithmic developments and highlighting
these methods with a diverse range of applications. We also discuss key
advances and challenges in the rapidly growing field of machine learning that
are likely to drive future developments and significantly transform the
theoretical landscape of dynamical systems.
- Abstract（参考訳）: 力学系の分野は、現代のコンピューティングとデータサイエンスから生まれる数学的なツールとアルゴリズムによって変化しています。
第一原理の導出と漸近的還元は、演算子理論または確率的フレームワークでモデルを定式化するデータ駆動アプローチへの道を与えている。
クープマンスペクトル理論は、過去10年間に支配的な視点として出現し、非線形力学は、システムのすべての可能な測定関数の空間に作用する無限次元線形作用素の観点で表される。
この非線形力学の線形表現は、線形系向けに開発された標準教科書法を用いて非線形システムの予測、推定、制御を可能にする大きな可能性を秘めている。
しかし、有限次元座標系とダイナミクスがほぼ直線的に現れる埋め込みを得ることは、依然として中心的なオープンな課題である。
クープマン解析の成功は主に3つの主要な要因による: 1) 力学系の古典幾何学的アプローチと結びつく厳密な理論が存在し、2) アプローチは測定の観点で定式化され、ビッグデータと機械学習技術を活用するのに理想的であり、3) 動的モード分解(DMD)のような単純で強力な数値アルゴリズムが開発され、拡張され、クープマン理論が現実の応用に応用されるように縮小された。
本稿では,現代クープマン作用素論の概要を概説し,近年の理論的・アルゴリズム的発展を概説し,これらの手法を多種多様な応用で強調する。
また、機械学習の急速に成長している分野における重要な進歩と課題について論じ、将来の発展を促進し、力学系の理論的展望を著しく変えている。
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