論文の概要: Deep learning approximations for non-local nonlinear PDEs with Neumann boundary conditions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2205.03672v1
• Date: Sat, 7 May 2022 15:47:17 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-05-10 17:50:54.893565
• Title: Deep learning approximations for non-local nonlinear PDEs with Neumann boundary conditions
• Title（参考訳）: ノイマン境界条件を持つ非局所非線形PDEのディープラーニング近似
• Authors: Victor Boussange, Sebastian Becker, Arnulf Jentzen, Benno Kuckuck, Lo\"ic Pellissier
• Abstract要約: 非局所非線形PDEを大まかに解くために,機械学習とPicard反復に基づく2つの数値手法を提案する。 物理・生物学における5種類のPDEにおける2つの手法の性能評価を行った。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.449909275410288
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Nonlinear partial differential equations (PDEs) are used to model dynamical processes in a large number of scientific fields, ranging from finance to biology. In many applications standard local models are not sufficient to accurately account for certain non-local phenomena such as, e.g., interactions at a distance. In order to properly capture these phenomena non-local nonlinear PDE models are frequently employed in the literature. In this article we propose two numerical methods based on machine learning and on Picard iterations, respectively, to approximately solve non-local nonlinear PDEs. The proposed machine learning-based method is an extended variant of a deep learning-based splitting-up type approximation method previously introduced in the literature and utilizes neural networks to provide approximate solutions on a subset of the spatial domain of the solution. The Picard iterations-based method is an extended variant of the so-called full history recursive multilevel Picard approximation scheme previously introduced in the literature and provides an approximate solution for a single point of the domain. Both methods are mesh-free and allow non-local nonlinear PDEs with Neumann boundary conditions to be solved in high dimensions. In the two methods, the numerical difficulties arising due to the dimensionality of the PDEs are avoided by (i) using the correspondence between the expected trajectory of reflected stochastic processes and the solution of PDEs (given by the Feynman-Kac formula) and by (ii) using a plain vanilla Monte Carlo integration to handle the non-local term. We evaluate the performance of the two methods on five different PDEs arising in physics and biology. In all cases, the methods yield good results in up to 10 dimensions with short run times. Our work extends recently developed methods to overcome the curse of dimensionality in solving PDEs.
• Abstract（参考訳）: 非線形偏微分方程式(英語版)(PDE)は、金融から生物学まで、多くの科学分野における動的過程のモデル化に用いられる。 多くの応用において、標準局所モデルは、例えば距離での相互作用のような特定の非局所現象を正確に考慮するのに十分なものではない。 これらの現象を適切に捉えるために、非局所非線形pdeモデルが文献に頻繁に用いられる。 本稿では,非局所非線形PDEを大まかに解くために,機械学習とPicard反復に基づく2つの数値手法を提案する。 提案する機械学習に基づく手法は,以前に文献で紹介された深層学習に基づく分割型近似法の拡張版であり,ニューラルネットワークを用いて解の空間領域の部分集合に対する近似解を提供する。 ピカード反復法は、文献で以前に導入されたいわゆる全履歴再帰的マルチレベルピカード近似スキームの拡張版であり、ドメインの単一点に対する近似解を提供する。 どちらの手法もメッシュフリーであり、ノイマン境界条件を持つ非局所非線形PDEを高次元で解ける。 この2つの手法では、PDEの次元性に起因する数値的困難を回避している。 一 反射確率過程の予測軌道とPDEの解(ファインマン・カック式による)の対応とそれによる対応 (ii)非局所的な用語を扱うためにバニラ・モンテカルロ積分を用いる。 物理・生物学における5種類のPDEにおける2つの手法の性能評価を行った。 いずれの場合も、短い実行時間で最大10次元の良好な結果が得られる。 我々の研究は、PDEの解決における次元性の呪いを克服する手法を最近開発した。

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