論文の概要: Short and Straight: Geodesics on Differentiable Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2305.15228v1
• Date: Wed, 24 May 2023 15:09:41 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-05-25 15:01:19.111109
• Title: Short and Straight: Geodesics on Differentiable Manifolds
• Title（参考訳）: 短線と直線:微分多様体の測地学
• Authors: Daniel Kelshaw, Luca Magri
• Abstract要約: 本研究では,測地線長を最小化するための既存の手法をまず解析する。 次に,連続多様体上の距離場と測地流のモデルに基づくパラメータ化を提案する。 第3に,Ricciスカラーのより大きい値を示す多様体の領域において,曲率に基づくトレーニング機構,サンプリングおよびスケーリングポイントを開発する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.85316573653194
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Manifolds discovered by machine learning models provide a compact representation of the underlying data. Geodesics on these manifolds define locally length-minimising curves and provide a notion of distance, which are key for reduced-order modelling, statistical inference, and interpolation. In this work, we first analyse existing methods for computing length-minimising geodesics. We find that these are not suitable for obtaining valid paths, and thus, geodesic distances. We remedy these shortcomings by leveraging numerical tools from differential geometry, which provide the means to obtain Hamiltonian-conserving geodesics. Second, we propose a model-based parameterisation for distance fields and geodesic flows on continuous manifolds. Our approach exploits a manifold-aware extension to the Eikonal equation, eliminating the need for approximations or discretisation. Finally, we develop a curvature-based training mechanism, sampling and scaling points in regions of the manifold exhibiting larger values of the Ricci scalar. This sampling and scaling approach ensures that we capture regions of the manifold subject to higher degrees of geodesic deviation. Our proposed methods provide principled means to compute valid geodesics and geodesic distances on manifolds. This work opens opportunities for latent-space interpolation, optimal control, and distance computation on differentiable manifolds.
• Abstract（参考訳）: 機械学習モデルによって発見されたマニフォールドは、基礎となるデータのコンパクトな表現を提供する。 これらの多様体上の測地学は局所的な長さ最小化曲線を定義し、距離の概念を提供する。 本研究では,測地線長を最小化する既存の手法をまず解析する。 これらは有効な経路や測地線距離を得るのに適していないことが判明した。 我々は,ハミルトニアン保存測地線を得る手段を提供する微分幾何学の数値ツールを活用することで,これらの欠点を解消する。 次に,連続多様体上の距離場と測地流のモデルに基づくパラメータ化を提案する。 提案手法は, 近似や離散化の必要性を排除し, アイコン方程式への多様体対応拡張を利用する。 最後に,Ricciスカラーのより大きい値を示す多様体の領域の標本化とスケーリングのための曲率に基づくトレーニング機構を開発する。 このサンプリングとスケーリングのアプローチは、高次測地偏差を受ける多様体の領域を捕捉することを保証する。 提案手法は,多様体上の有効な測地線と測地線距離を計算するための原理的手法である。 この研究は、可微分多様体上の潜在空間補間、最適制御、距離計算の機会を開く。

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