論文の概要: Shape-Preserving Dimensionality Reduction : An Algorithm and Measures of
Topological Equivalence
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2106.02096v2
- Date: Mon, 7 Jun 2021 16:59:07 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-06-08 11:37:53.576243
- Title: Shape-Preserving Dimensionality Reduction : An Algorithm and Measures of
Topological Equivalence
- Title（参考訳）: 形状保存次元の低減 : トポロジカル等価性のアルゴリズムと対策
- Authors: Byeongsu Yu, Kisung You
- Abstract要約: 本稿では, 位相的特徴を持続的ホモロジーで保存する線形次元減少手法を提案する。
この方法は直線射影$L$を見つけるよう設計されており、これは点クラウド$mathbbX$の永続図を保存している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: We introduce a linear dimensionality reduction technique preserving
topological features via persistent homology. The method is designed to find
linear projection $L$ which preserves the persistent diagram of a point cloud
$\mathbb{X}$ via simulated annealing. The projection $L$ induces a set of
canonical simplicial maps from the Rips (or \v{C}ech) filtration of
$\mathbb{X}$ to that of $L\mathbb{X}$. In addition to the distance between
persistent diagrams, the projection induces a map between filtrations, called
filtration homomorphism. Using the filtration homomorphism, one can measure the
difference between shapes of two filtrations directly comparing simplicial
complexes with respect to quasi-isomorphism $\mu_{\operatorname{quasi-iso}}$ or
strong homotopy equivalence $\mu_{\operatorname{equiv}}$. These
$\mu_{\operatorname{quasi-iso}}$ and $\mu_{\operatorname{equiv}}$ measures how
much portion of corresponding simplicial complexes is quasi-isomorphic or
homotopy equivalence respectively. We validate the effectiveness of our
framework with simple examples.
- Abstract（参考訳）: 位相的特徴を持続的ホモロジーで保存する線形次元減少手法を導入する。
この方法は線形射影$L$を見つけるよう設計されており、これは模擬アニールを通して点クラウド$\mathbb{X}$の持続図を保存している。
射影$L$は、Rips (または \v{C}ech) フィルターの$\mathbb{X}$から$L\mathbb{X}$への正準単純写像の集合を誘導する。
永続図形の間の距離に加えて、射影はフィルター準同型と呼ばれるフィルター間の写像を誘導する。
フィルター準同型を用いて、擬同型 $\mu_{\operatorname{quasi-iso}}$ あるいは強ホモトピー同値 $\mu_{\operatorname{equiv}}$ に対して、単体複体を直接比較する2つのフィルターの形状の差を測定することができる。
これらの $\mu_{\operatorname{quasi-iso}}$ と $\mu_{\operatorname{equiv}}$ は、対応する単純錯体のそれぞれが準同型あるいはホモトピー同値であるかを測定する。
フレームワークの有効性を簡単な例で検証します。
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