論文の概要: Concentration for Trotter error

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2111.05324v1
• Date: Tue, 9 Nov 2021 18:49:48 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-03-08 17:58:49.237105
• Title: Concentration for Trotter error
• Title（参考訳）: トロッター誤差に対する濃度
• Authors: Chi-Fang Chen and Fernando G.S.L. Brand\~ao
• Abstract要約: 製品公式(英: Product formulas, Trotterization, 英: Trotterization)は、量子シミュレーションにおいて最も古く、現在でも魅力的な方法である。 ゲート複雑性は、ハミルトン項の数と、その局所項の特定の1ノルムに依存する。 この結果はフェルミオン項と入力状態が低粒子数部分空間から引き出されるときのハミルトニアンに一般化される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 69.68937033275746
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Quantum simulation is expected to be one of the key applications of future quantum computers. Product formulas, or Trotterization, are the oldest and, still today, an appealing method for quantum simulation. For an accurate product formula approximation in the spectral norm, the state-of-the-art gate complexity depends on the number of Hamiltonian terms and a certain 1-norm of its local terms. This work studies the concentration aspects of Trotter error: we prove that, typically, the Trotter error exhibits 2-norm (i.e., incoherent) scaling; the current estimate with 1-norm (i.e., coherent) scaling is for the worst cases. For k-local Hamiltonians and higher-order product formulas, we obtain gate count estimates for input states drawn from a 1-design ensemble (e.g., computational basis states). Our gate count depends on the number of Hamiltonian terms but replaces the 1-norm quantity by its analog in 2-norm, giving significant speedup for systems with large connectivity. Our results generalize to Hamiltonians with Fermionic terms and when the input state is drawn from a low-particle number subspace. Further, when the Hamiltonian itself has Gaussian coefficients (e.g., the SYK models), we show the stronger result that the 2-norm behavior persists even for the worst input state. Our main technical tool is a family of simple but versatile inequalities from non-commutative martingales called uniform smoothness. We use them to derive Hypercontractivity, namely p-norm estimates for low-degree polynomials, which implies concentration via Markov's inequality. In terms of optimality, we give examples that simultaneously match our p-norm bounds and the spectral norm bounds. Therefore, our improvement is due to asking a qualitatively different question from the spectral norm bounds. Our results give evidence that product formulas in practice may generically work much better than expected.
• Abstract（参考訳）: 量子シミュレーションは将来の量子コンピュータの重要な応用の1つとして期待されている。 製品公式(Trotterization)は最も古く、現在でも量子シミュレーションの魅力的な方法である。 スペクトルノルムの正確な積公式近似について、最先端のゲート複雑性はハミルトン項の数と局所項の特定の1ノルムに依存する。 一般に、トロッター誤差は2-ノルム(すなわち、非コヒーレント)のスケーリングを示し、現在の1-ノルム(すなわち、コヒーレント)のスケーリングが最悪の場合であることを示す。 k-局所ハミルトニアンおよび高次積公式について、1-設計アンサンブル(例えば計算基底状態)から引き出された入力状態のゲートカウント推定を求める。 ゲート数はハミルトン項の数に依存するが、その1-ノルムの量は2-ノルムのアナログによって置き換えられ、大きな接続性を持つ系では大幅に高速化される。 この結果はフェルミオン項と入力状態が低粒子数部分空間から引き出されるときのハミルトニアンに一般化される。 さらに、ハミルトニアン自身がガウス係数(例えば、sykモデル)を持つとき、2-ノルムの挙動が最悪の入力状態においても持続するより強い結果を示す。 我々の主要な技術ツールは、均一な滑らかさと呼ばれる非可換なマーチンガレットから得られる単純だが万能な不等式である。 これらを用いて超収縮率、すなわち低次多項式のp-ノルム推定を導出し、マルコフの不等式を通した濃度を示唆する。 最適性の観点からは、p-ノルム境界とスペクトルノルム境界とを同時に一致する例を示す。 したがって、我々の改善はスペクトルノルム境界から定性的に異なる質問をすることによる。 以上の結果から, 製品の公式は予想よりはるかにうまく機能する可能性が示唆された。

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