論文の概要: Evidence for and against Zauner's MUB Conjecture in $\mathbb{C}^6$
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2103.08703v1
- Date: Mon, 15 Mar 2021 20:29:36 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-08 01:40:31.659425
- Title: Evidence for and against Zauner's MUB Conjecture in $\mathbb{C}^6$
- Title（参考訳）: $\mathbb{C}^6$ における Zauner の MUB Conjecture の証明と反対
- Authors: Gary McConnell, Harry Spencer and Afaq Tahir
- Abstract要約: ザウナーは、3つのMUBしか存在しないと予測した。
$mathbbC6$ では、3つの MUB の集合に互いに偏りのないベクトルが1つも発見されていない。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The problem of finding provably maximal sets of mutually unbiased bases in
$\mathbb{C}^d$, for composite dimensions $d$ which are not prime powers,
remains completely open. In the first interesting case, $d=6$, Zauner predicted
that there can exist no more than three MUBs. We explore possible algebraic
solutions in $d=6$ by looking at their `shadows' in vector spaces over finite
fields. The main result is that if a counter-example to Zauner's conjecture
were to exist, then it would leave no such shadow upon reduction modulo several
different primes, forcing its algebraic complexity level to be much higher than
that of current well-known examples. In the case of prime powers $q \equiv 5
\bmod 12$, however, we are able to show some curious evidence which -- at least
formally -- points in the opposite direction. In $\mathbb{C}^6$, not even a
single vector has ever been found which is mutually unbiased to a set of three
MUBs. Yet in these finite fields we find sets of three `generalised MUBs'
together with an orthonormal set of four vectors of a putative fourth MUB, all
of which lifts naturally to a number field.
- Abstract（参考訳）: 素数ではない合成次元の$d$に対して、$\mathbb{C}^d$における互いにバイアスのない基底の証明可能な極大集合を見つけるという問題は、完全に開である。
最初の興味深い場合、$d=6$で、Zaunerは3つの MUB しか存在しないと予測した。
有限体上のベクトル空間におけるそれらの 'shadows' を見て、$d=6$で可能な代数解を探る。
主な結果は、ザウナー予想の反例が存在すれば、数個の異なる素数を減少させることでそのような影を残さず、その代数的複雑性レベルは、現在のよく知られた例よりもずっと高いものとなる。
しかし、素数 $q \equiv 5 \bmod 12$ の場合には、少なくとも正式には反対方向を指し示すいくつかの興味深い証拠を示すことができる。
$\mathbb{C}^6$ では、3つの MUB の集合に互いに偏りのないベクトルが1つも発見されていない。
しかし、これらの有限体において、3つの「一般化された MUBs」の集合と、命題 4 番目の MUB の4つのベクトルの正規直交集合は、すべて自然に数体に持ち上げられる。
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