論文の概要: Lower bounds for learning quantum states with single-copy measurements
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2207.14438v1
- Date: Fri, 29 Jul 2022 02:26:08 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-08-01 13:33:29.127515
- Title: Lower bounds for learning quantum states with single-copy measurements
- Title（参考訳）: 単一コピー計測による量子状態学習の下位境界
- Authors: Angus Lowe and Ashwin Nayak
- Abstract要約: 量子トモグラフィーとシャドウトモグラフィーの問題点を,未知の$d$次元状態の個々のコピーを用いて測定した。
特に、この手法は、その複雑さの観点から、フォークロアのパウリ・トモグラフィー(Pauli tomography)アルゴリズムの最適性を厳格に確立する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.2590610391507444
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study the problems of quantum tomography and shadow tomography using
measurements performed on individual, identical copies of an unknown
$d$-dimensional state. We first revisit a known lower bound due to Haah et al.
(2017) on quantum tomography with accuracy $\epsilon$ in trace distance, when
the measurements choices are independent of previously observed outcomes (i.e.,
they are nonadaptive). We give a succinct proof of this result. This leads to
stronger lower bounds when the learner uses measurements with a constant number
of outcomes. In particular, this rigorously establishes the optimality of the
folklore ``Pauli tomography" algorithm in terms of its sample complexity. We
also derive novel bounds of $\Omega(r^2 d/\epsilon^2)$ and $\Omega(r^2
d^2/\epsilon^2)$ for learning rank $r$ states using arbitrary and
constant-outcome measurements, respectively, in the nonadaptive case.
In addition to the sample complexity, a resource of practical significance
for learning quantum states is the number of different measurements used by an
algorithm. We extend our lower bounds to the case where the learner performs
possibly adaptive measurements from a fixed set of $\exp(O(d))$ measurements.
This implies in particular that adaptivity does not give us any advantage using
single-copy measurements that are efficiently implementable. We also obtain a
similar bound in the case where the goal is to predict the expectation values
of a given sequence of observables, a task known as shadow tomography. Finally,
in the case of adaptive, single-copy measurements implementable with
polynomial-size circuits, we prove that a straightforward strategy based on
computing sample means of the given observables is optimal.
- Abstract（参考訳）: 量子トモグラフィーとシャドウトモグラフィーの問題は、未知の$d$次元状態の個々の同一のコピーで測定された。
我々はまず、これまで観測された結果(すなわち、それらは非適応的)とは独立に測定された場合、精度$\epsilon$のトレース距離を持つ量子トモグラフィーにおいて、Haah et al. (2017) による既知の下界を再考する。
私たちはこの結果の簡潔な証明を与える。
これは、学習者が一定の数の結果を持つ測定値を使用すると、より低い境界につながる。
特に、この手法は、サンプルの複雑さの観点から、民謡『Pauli tomography』アルゴリズムの最適性を厳格に確立する。
また、任意値と定値値の測定値を用いて、それぞれ$\Omega(r^2 d/\epsilon^2)$と$\Omega(r^2 d^2/\epsilon^2)$の新たな境界を学習する。
サンプルの複雑さに加えて、量子状態の学習に実用上重要な資源は、アルゴリズムが使用する異なる測定値の数である。
我々は,学習者が$\exp(O(d))$の固定されたセットから適応的な測定を行う場合に,下限を拡張する。
これは特に、適応性が効率的に実装できるシングルコピー測定を用いた利点を与えないことを意味する。
また,シャドートモグラフィ(shadow tomography)と呼ばれるタスクである観測可能なシーケンスの期待値を予測しようとする場合にも同様のバウンドが得られる。
最後に,多項式サイズの回路で実装可能な適応型単一コピー計測の場合,与えられた観測値の計算値に基づく簡単な戦略が最適であることを示す。
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