論文の概要: Geometric Scattering on Measure Spaces

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2208.08561v1
• Date: Wed, 17 Aug 2022 22:40:09 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-08-19 13:22:51.664562
• Title: Geometric Scattering on Measure Spaces
• Title（参考訳）: 空間計測における幾何散乱
• Authors: Joyce Chew and Matthew Hirn and Smita Krishnaswamy and Deanna Needell and Michael Perlmutter and Holly Steach and Siddharth Viswanath and Hau-Tieng Wu
• Abstract要約: 測度空間上での幾何散乱の一般統一モデルを導入する。 未知多様体をランダムにサンプリングして得られる有限測度空間を考える。 本稿では, 関連するグラフ散乱変換が基礎多様体上の散乱変換を近似するデータ駆動グラフを構築するための2つの方法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.0756034112778
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The scattering transform is a multilayered, wavelet-based transform initially introduced as a model of convolutional neural networks (CNNs) that has played a foundational role in our understanding of these networks' stability and invariance properties. Subsequently, there has been widespread interest in extending the success of CNNs to data sets with non-Euclidean structure, such as graphs and manifolds, leading to the emerging field of geometric deep learning. In order to improve our understanding of the architectures used in this new field, several papers have proposed generalizations of the scattering transform for non-Euclidean data structures such as undirected graphs and compact Riemannian manifolds without boundary. In this paper, we introduce a general, unified model for geometric scattering on measure spaces. Our proposed framework includes previous work on geometric scattering as special cases but also applies to more general settings such as directed graphs, signed graphs, and manifolds with boundary. We propose a new criterion that identifies to which groups a useful representation should be invariant and show that this criterion is sufficient to guarantee that the scattering transform has desirable stability and invariance properties. Additionally, we consider finite measure spaces that are obtained from randomly sampling an unknown manifold. We propose two methods for constructing a data-driven graph on which the associated graph scattering transform approximates the scattering transform on the underlying manifold. Moreover, we use a diffusion-maps based approach to prove quantitative estimates on the rate of convergence of one of these approximations as the number of sample points tends to infinity. Lastly, we showcase the utility of our method on spherical images, directed graphs, and on high-dimensional single-cell data.
• Abstract（参考訳）: 散乱変換は、当初畳み込みニューラルネットワーク(cnns)のモデルとして導入された多層ウェーブレットに基づく変換であり、これらのネットワークの安定性と不変性を理解する上で基礎的な役割を果たす。 その後、グラフや多様体のような非ユークリッド構造を持つデータセットへのcnnの成功に広く関心が寄せられ、幾何学的深層学習の新たな分野が誕生した。 この新分野におけるアーキテクチャの理解を深めるために、無向グラフや境界のないコンパクトリーマン多様体のような非ユークリッドデータ構造に対する散乱変換の一般化を提案している。 本稿では,測度空間上の幾何学的散乱に対する一般的な統一モデルを提案する。 提案フレームワークは, 特別の場合として幾何散乱に関する以前の研究を含むが, 有向グラフ, 符号グラフ, 境界を持つ多様体など, より一般的な設定にも適用できる。 有用な表現が不変であるべき群を特定する新しい基準を提案し、この基準が散乱変換が望ましい安定性と不変性を持つことを保証するのに十分であることを示す。 さらに、未知多様体をランダムにサンプリングして得られる有限測度空間を考える。 本稿では,グラフ散乱変換が基礎多様体上の散乱変換に近似するデータ駆動グラフを構築するための2つの方法を提案する。 さらに, 拡散マップに基づく手法を用いて, これらの近似値の収束率を, サンプル点の数が無限大になるにつれて定量的に推定する。 最後に,球面画像,有向グラフ,高次元単一セルデータに対する本手法の有用性について述べる。

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