論文の概要: Sobolev Spaces, Kernels and Discrepancies over Hyperspheres

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2211.09196v1
• Date: Wed, 16 Nov 2022 20:31:38 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-18 15:36:20.788739
• Title: Sobolev Spaces, Kernels and Discrepancies over Hyperspheres
• Title（参考訳）: ハイパースフィア上のソボレフ空間, カーネル, 分散性
• Authors: Simon Hubbert, Emilio Porcu, Chris. J. Oates and Mark Girolami
• Abstract要約: この研究は超球面文脈におけるカーネルメソッドの理論基盤を提供する。 超球面上で定義されたカーネルに付随するネイティブ空間(再生カーネルヒルベルト空間)とソボレフ空間を特徴付ける。 その結果,カーネルキュウチュアの直接的影響,最悪のケースエラーの収束率の決定,およびキュウチュアアルゴリズムの適用性の向上が得られた。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.521119623956821
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: This work provides theoretical foundations for kernel methods in the hyperspherical context. Specifically, we characterise the native spaces (reproducing kernel Hilbert spaces) and the Sobolev spaces associated with kernels defined over hyperspheres. Our results have direct consequences for kernel cubature, determining the rate of convergence of the worst case error, and expanding the applicability of cubature algorithms based on Stein's method. We first introduce a suitable characterisation on Sobolev spaces on the $d$-dimensional hypersphere embedded in $(d+1)$-dimensional Euclidean spaces. Our characterisation is based on the Fourier--Schoenberg sequences associated with a given kernel. Such sequences are hard (if not impossible) to compute analytically on $d$-dimensional spheres, but often feasible over Hilbert spheres. We circumvent this problem by finding a projection operator that allows to Fourier mapping from Hilbert into finite dimensional hyperspheres. We illustrate our findings through some parametric families of kernels.
• Abstract（参考訳）: この研究は超球面文脈におけるカーネルメソッドの理論基盤を提供する。 具体的には、自然空間(再生核ヒルベルト空間)と超球面上で定義された核に付随するソボレフ空間を特徴づける。 結果は, カーネル・キューバチュアに直接的な影響をもたらし, 最悪のケースエラーの収束率を判定し, ステイン法に基づくキューバチュアアルゴリズムの適用可能性を拡大した。 まず、$(d+1)$-次元ユークリッド空間に埋め込まれた$d$-次元超球面上のソボレフ空間に適切な特徴付けを導入する。 我々の特徴付けは与えられたカーネルに関連するフーリエ-シェーンベルク列に基づいている。 そのような列は$d$次元球面上で解析的に計算するのは難しいが、ヒルベルト球面上ではしばしば実現可能である。 ヒルベルトから有限次元超球面へのフーリエ写像を可能にする射影作用素を見つけることでこの問題を回避する。 カーネルのパラメトリックなファミリを通して,本研究の成果を概説する。

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