論文の概要: Learning Invariant Subspaces of Koopman Operators--Part 1: A Methodology
for Demonstrating a Dictionary's Approximate Subspace Invariance
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.07358v1
- Date: Wed, 14 Dec 2022 17:33:52 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-12-15 18:10:26.101782
- Title: Learning Invariant Subspaces of Koopman Operators--Part 1: A Methodology
for Demonstrating a Dictionary's Approximate Subspace Invariance
- Title（参考訳）: クープマン作用素の不変部分空間の学習-その1:辞書の近似部分空間不変性を示す方法
- Authors: Charles A. Johnson, Shara Balakrishnan and Enoch Yeung
- Abstract要約: 拡張動的モード分解アルゴリズムでは、辞書関数は固定クラスの関数から引き出される。
深層動的モード分解(deepDMD)と呼ばれるアルゴリズムにおいて、深層学習とEDMDを組み合わせた新しい辞書関数の学習に使われている。
本稿では,DeepDMDから学習辞書を解析し,その性能に関する理論的基礎を探る。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Koopman operators model nonlinear dynamics as a linear dynamic system acting
on a nonlinear function as the state. This nonstandard state is often called a
Koopman observable and is usually approximated numerically by a superposition
of functions drawn from a dictionary. In a widely used algorithm, Extended
Dynamic Mode Decomposition, the dictionary functions are drawn from a fixed
class of functions. Recently, deep learning combined with EDMD has been used to
learn novel dictionary functions in an algorithm called deep dynamic mode
decomposition (deepDMD). The learned representation both (1) accurately models
and (2) scales well with the dimension of the original nonlinear system. In
this paper we analyze the learned dictionaries from deepDMD and explore the
theoretical basis for their strong performance. We explore State-Inclusive
Logistic Lifting (SILL) dictionary functions to approximate Koopman
observables. Error analysis of these dictionary functions show they satisfy a
property of subspace approximation, which we define as uniform finite
approximate closure. Our results provide a hypothesis to explain the success of
deep neural networks in learning numerical approximations to Koopman operators.
Part 2 of this paper will extend this explanation by demonstrating the subspace
invariant of heterogeneous dictionaries and presenting a head-to-head numerical
comparison of deepDMD and low-parameter heterogeneous dictionary learning.
- Abstract（参考訳）: クープマン作用素は非線形関数を状態として作用する線形力学系として非線形力学をモデル化する。
この非標準状態はしばしばkoopman observableと呼ばれ、通常辞書から引き出された関数の重ね合わせによって近似される。
拡張動的モード分解(extended dynamic mode decomposition)と呼ばれる広く使われているアルゴリズムでは、辞書関数は固定された関数のクラスから引き出される。
近年,深層学習とEDMDを組み合わせることで,Deep Dynamic Mode decomposition (deepDMD)と呼ばれるアルゴリズムで新しい辞書関数を学習している。
学習された表現は(1)正確なモデルと(2)元の非線形システムの次元とよく合致する。
本稿では,deepdmdから得られた学習辞書を分析し,その強力な性能の理論的基礎を考察する。
状態帰納的ロジスティックリフティング(sill)辞書関数を探索し,koopmanオブザーバブルを近似する。
これらの辞書関数の誤り解析は、部分空間近似の性質を満たすことを示し、これは一様有限近似閉包として定義する。
この結果は,クープマン演算子に対する数値近似学習におけるディープニューラルネットワークの成功を説明する仮説を提供する。
本稿では, ヘテロジニアス辞書の部分空間不変性を実証し, ディープDMDと低パラメータヘテロジニアス辞書学習の頭から頭への数値的比較を示す。
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