論文の概要: State polynomials: positivity, optimization and nonlinear Bell
inequalities
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2301.12513v1
- Date: Sun, 29 Jan 2023 18:52:21 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-01-31 16:38:59.715219
- Title: State polynomials: positivity, optimization and nonlinear Bell
inequalities
- Title（参考訳）: 状態多項式:正性、最適化、非線形ベル不等式
- Authors: Igor Klep, Victor Magron, Jurij Vol\v{c}i\v{c}, Jie Wang
- Abstract要約: 本稿では,非可換変数の状態とそれらの積の形式状態を紹介する。
これは、すべての正の状態と正の状態が、分母を持つ正方形の和であることを示している。
また、Avinetengle Kritivsatzが状態設定で保持できないことも確認されている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.9692590090301683
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: This paper introduces state polynomials, i.e., polynomials in noncommuting
variables and formal states of their products. A state analog of Artin's
solution to Hilbert's 17th problem is proved showing that state polynomials,
positive over all matrices and matricial states, are sums of squares with
denominators. Somewhat surprisingly, it is also established that a
Krivine-Stengle Positivstellensatz fails to hold in the state polynomial
setting. Further, archimedean Positivstellens\"atze in the spirit of Putinar
and Helton-McCullough are presented leading to a hierarchy of semidefinite
relaxations converging monotonically to the optimum of a state polynomial
subject to state constraints. This hierarchy can be seen as a state analog of
the Lasserre hierarchy for optimization of polynomials, and the
Navascu\'es-Pironio-Ac\'in scheme for optimization of noncommutative
polynomials. The motivation behind this theory arises from the study of
correlations in quantum networks. Determining the maximal quantum violation of
a polynomial Bell inequality for an arbitrary network is reformulated as a
state polynomial optimization problem. Several examples of quadratic Bell
inequalities in the bipartite and the bilocal tripartite scenario are analyzed.
To reduce the size of the constructed SDPs, sparsity, sign symmetry and
conditional expectation of the observables' group structure are exploited. To
obtain the above-mentioned results, techniques from noncommutative algebra,
real algebraic geometry, operator theory, and convex optimization are employed.
- Abstract（参考訳）: 本稿では、状態多項式、すなわち非可換変数の多項式とその積の形式的状態を紹介する。
ヒルベルトの17番目の問題に対するアルティンの解の状態類似性は、すべての行列と行列状態に対して正の状態多項式が分母を持つ平方の和であることを示す。
やや意外なことに、krivine-stengle positivstellensatz は状態多項式設定では保持されない。
さらに、Putinar と Helton-McCullough の精神におけるアルキメデス Positivstellens {\displaystyle Positivstellens\"atze in the spirit of Putinar and Helton-McCullough が提示され、状態制約を受ける状態多項式の最適値に単調に収束する半有限緩和の階層が導かれる。
この階層は多項式の最適化のためのラッサール階層と非可換多項式の最適化のためのNavascu\'es-Pironio-Ac\inスキームの状態類似と見なすことができる。
この理論の背後にある動機は、量子ネットワークにおける相関の研究から生じる。
任意のネットワークに対する多項式ベルの不等式の最大量子違反を状態多項式最適化問題として再定義する。
二部岩体と二部岩体の二次ベル不等式のいくつかの例を解析した。
構築されたSDPのサイズを小さくするために、観測対象群構造の疎度、符号対称性、条件予測を利用する。
上記の結果を得るためには、非可換代数、実代数幾何学、作用素理論、凸最適化の技法を用いる。
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