論文の概要: Notes on the type classification of von Neumann algebras

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2302.01958v2
• Date: Tue, 11 Apr 2023 14:43:49 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-04-12 18:10:49.398199
• Title: Notes on the type classification of von Neumann algebras
• Title（参考訳）: フォン・ノイマン代数の型分類に関する注記
• Authors: Jonathan Sorce
• Abstract要約: これらのノートはフォン・ノイマン代数の型分類の説明を与える。 目標は、専門家でない読者には技術的すぎるリソース間の文学のギャップを埋めることです。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: These notes provide an explanation of the type classification of von Neumann algebras, which has made many appearances in recent work on entanglement in quantum field theory and quantum gravity. The goal is to bridge a gap in the literature between resources that are too technical for the non-expert reader, and resources that seek to explain the broad intuition of the theory without giving precise definitions. Reading these notes will provide you with: (i) an argument for why "factors" are the fundamental von Neumann algebras that one needs to study; (ii) an intuitive explanation of the type classification of factors in terms of renormalization schemes that turn unnormalizable positive operators into "effective density matrices;" (iii) a mathematical explanation of the different types of renormalization schemes in terms of the allowed traces on a factor; (iv) an intuitive characterization of type I and II factors in terms of their "standard forms;" and (v) a list of some interesting connections between type classification and modular theory, including the argument for why type III$_1$ factors are believed to be the relevant ones in quantum field theory. None of the material is new, but the pedagogy is different from other sources I have read; it is most similar in spirit to the recent work on gravity and the crossed product by Chandrasekaran, Longo, Penington, and Witten.
• Abstract（参考訳）: これらのノートはフォン・ノイマン代数の型分類の説明であり、近年の量子場論と量子重力の絡み合いに関する研究で多くの言及がなされている。 目標は、専門家でない読者には技術的すぎるリソースと、正確な定義を与えずに理論の幅広い直観を説明しようとするリソースの間の文学のギャップを埋めることである。 これらのメモを読むと (i)なぜ「因子」が研究すべき基本フォン・ノイマン代数であるのかという議論。 (二)非正規化正作用素を「有効密度行列」に変換する正規化スキームにおける因子の型分類の直観的説明 (iii) ファクター上の許容トレースの観点で、異なる種類の再正規化スキームの数学的説明 (iv)「標準形」という観点からのi型及びii型要因の直感的特徴付け及び (v) 型分類とモジュラー理論の間の興味深い関係の一覧で、なぜ型III$_1$因子が場の量子論において関連するものと考えられるのかという議論を含む。 これはChandrasekaran氏、Longo氏、Penington氏、Witten氏による最近の重力に関する最近の研究とよく似ている。

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