論文の概要: Multiparameter Persistent Homology-Generic Structures and Quantum
Computing
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2210.11433v1
- Date: Thu, 20 Oct 2022 17:30:20 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-01-18 20:14:41.080949
- Title: Multiparameter Persistent Homology-Generic Structures and Quantum
Computing
- Title（参考訳）: マルチパラメータ永続ホモロジー-ジェネリック構造と量子コンピューティング
- Authors: Amelie Schreiber
- Abstract要約: 本稿では、トポロジカルデータ解析における持続的ホモロジーの研究への可換代数の応用について述べる。
このような分解能の一般的な構造と分類空間は、数十年にわたる研究結果を用いて研究されている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The following article is an application of commutative algebra to the study
of multiparameter persistent homology in topological data analysis. In
particular, the theory of finite free resolutions of modules over polynomial
rings is applied to multiparameter persistent modules. The generic structure of
such resolutions and the classifying spaces involved are studied using results
spanning several decades of research in commutative algebra, beginning with the
study of generic structural properties of free resolutions popularized by
Buchsbaum and Eisenbud. Many explicit computations are presented using the
computer algebra package Macaulay2, along with the code used for computations.
This paper serves as a collection of theoretical results from commutative
algebra which will be necessary as a foundation in the future use of
computational methods using Gr\"obner bases, standard monomial theories, Young
tableaux, Schur functors and Schur polynomials, and the classical
representation theory and invariant theory involved in linear algebraic group
actions. The methods used are in general characteristic free and are designed
to work over the ring of integers in order to be useful for applications and
computations in data science. As an applications we explain how one could apply
2-parameter persistent homology to study time-varying interactions graphs
associated to quadratic Hamiltonians such as those in the Ising model or
Kitaev's torus code and other surface codes.
- Abstract（参考訳）: 以下は、位相データ解析における多パラメータ持続ホモロジーの研究における可換代数の応用である。
特に、多項式環上の加群の有限自由分解の理論は、マルチパラメータ永続加群に適用される。
このような分解能の一般構造と関連する分類空間は、buchsbaum と eisenbud によって一般化された自由分解能の一般構造的性質の研究から始まり、可換代数における数十年にわたる研究結果を用いて研究されている。
多くの明示的な計算は計算機代数パッケージのMacaulay2と計算に使われるコードを使って表現される。
本稿では、可換代数からの理論的結果の集合として、gr\"obner bases, standard monomial theory, young tableaux, schur functors and schur polynomials, and the classical representation theory and invariant theory involved in linear algebraic group actions(英語版)を用いた計算手法の今後の使用の基盤として必要となる。
使用される手法は一般に特性自由であり、データ科学の応用や計算に役立てるために整数環上で動くように設計されている。
応用として、イジングモデルやキタエフのトーラス符号などの二次ハミルトニアンに関連する時間変化相互作用グラフの研究に、2パラメータ持続ホモロジーを適用する方法を説明する。
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