論文の概要: Diffusion Maps for Group-Invariant Manifolds
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2303.16169v1
- Date: Tue, 28 Mar 2023 17:30:35 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-29 14:03:22.749202
- Title: Diffusion Maps for Group-Invariant Manifolds
- Title（参考訳）: 群不変多様体の拡散写像
- Authors: Paulina Hoyos and Joe Kileel
- Abstract要約: コンパクトリー群$K$の作用の下でデータセットが不変であるときの多様体学習問題を考える。
我々のアプローチは、K$の作用の下で軌道上を統合することで、データ誘起グラフラプラシアンを増大させることである。
正規化されたラプラシアン作用素 $L_N$ がデータ多様体のラプラス・ベルトラミ作用素に収束することを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.90365714903665
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: In this article, we consider the manifold learning problem when the data set
is invariant under the action of a compact Lie group $K$. Our approach consists
in augmenting the data-induced graph Laplacian by integrating over orbits under
the action of $K$ of the existing data points. We prove that this $K$-invariant
Laplacian operator $L$ can be diagonalized by using the unitary irreducible
representation matrices of $K$, and we provide an explicit formula for
computing the eigenvalues and eigenvectors of $L$. Moreover, we show that the
normalized Laplacian operator $L_N$ converges to the Laplace-Beltrami operator
of the data manifold with an improved convergence rate, where the improvement
grows with the dimension of the symmetry group $K$. This work extends the
steerable graph Laplacian framework of Landa and Shkolnisky from the case of
$\operatorname{SO}(2)$ to arbitrary compact Lie groups.
- Abstract（参考訳）: 本稿では、コンパクトリー群$K$の作用の下でデータセットが不変であるときの多様体学習問題を考察する。
我々のアプローチは、既存のデータポイントの$Kの作用の下で、軌道上での積分により、データ誘発グラフラプラシアンの増大である。
この$K$不変ラプラシアン作用素$L$は、K$のユニタリ既約表現行列を用いて対角化可能であることを証明し、固有値と固有ベクトルを$L$で計算するための公式を明示する。
さらに、正規化されたラプラシア作用素 $L_N$ がデータ多様体のラプラス・ベルトラミ作用素に収束して収束率が向上し、そこでは対称性群 $K$ の次元で改善が増加する。
この研究は、Landa と Shkolnisky のステアブルグラフ Laplacian フレームワークを $\operatorname{SO}(2)$ の場合には任意のコンパクトリー群に拡張する。
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