論文の概要: The Nonlocal Neural Operator: Universal Approximation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2304.13221v1
- Date: Wed, 26 Apr 2023 01:03:11 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-27 15:57:26.308204
- Title: The Nonlocal Neural Operator: Universal Approximation
- Title（参考訳）: 非局所ニューラル演算子:普遍近似
- Authors: Samuel Lanthaler, Zongyi Li, Andrew M. Stuart
- Abstract要約: 本稿では,非局所的ニューラル演算子 (NNO) と呼ばれる演算子近似器を新たに導入し,任意のジオメトリ上で定義された関数間の演算子近似を可能にする。
非局所性の役割と非線形性との相互作用に新たな光を当て、非局所性に関するより体系的な探索の道を開く。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.28489418323604
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Neural operator architectures approximate operators between
infinite-dimensional Banach spaces of functions. They are gaining increased
attention in computational science and engineering, due to their potential both
to accelerate traditional numerical methods and to enable data-driven
discovery. A popular variant of neural operators is the Fourier neural operator
(FNO). Previous analysis proving universal operator approximation theorems for
FNOs resorts to use of an unbounded number of Fourier modes and limits the
basic form of the method to problems with periodic geometry. Prior work relies
on intuition from traditional numerical methods, and interprets the FNO as a
nonstandard and highly nonlinear spectral method. The present work challenges
this point of view in two ways: (i) the work introduces a new broad class of
operator approximators, termed nonlocal neural operators (NNOs), which allow
for operator approximation between functions defined on arbitrary geometries,
and includes the FNO as a special case; and (ii) analysis of the NNOs shows
that, provided this architecture includes computation of a spatial average
(corresponding to retaining only a single Fourier mode in the special case of
the FNO) it benefits from universal approximation. It is demonstrated that this
theoretical result unifies the analysis of a wide range of neural operator
architectures. Furthermore, it sheds new light on the role of nonlocality, and
its interaction with nonlinearity, thereby paving the way for a more systematic
exploration of nonlocality, both through the development of new operator
learning architectures and the analysis of existing and new architectures.
- Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークアーキテクチャ 関数の無限次元バナッハ空間間の近似作用素。
計算科学と工学の分野では、従来の数値法を加速し、データ駆動的な発見を可能にする可能性から注目を集めている。
ニューラル演算子の一般的な変種はフーリエニューラル演算子(FNO)である。
FNOsの普遍作用素近似定理を証明する以前の分析では、フーリエモードの非有界な数を使い、この手法の基本形を周期幾何学の問題に限定している。
以前の研究は従来の数値法からの直観に依存しており、FNOを非標準かつ高非線形スペクトル法として解釈している。
現在の作業は、この視点に2つの方法で挑戦する。
i) 任意のジオメトリ上で定義された関数間の演算子近似を可能にする演算子近似(NNO)と呼ばれる演算子近似器を新たに導入し、特殊なケースとしてFNOを含む。
(II) NNO の解析は、このアーキテクチャが空間平均(FNO の特別な場合において単一のフーリエモードのみを保持する)の計算を含むと、普遍近似の恩恵を受けることを示している。
この理論的結果は、幅広い神経オペレーターアーキテクチャの解析を統一することを示した。
さらに、非局所性の役割と非局所性との相互作用に新たな光を当て、新しい演算子学習アーキテクチャの開発と既存および新規アーキテクチャの分析の両方を通じて、非局所性をより体系的に探求する道を開く。
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