論文の概要: Upper bounds for Grothendieck constants, quantum correlation matrices and CCP functions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2305.04428v1
• Date: Mon, 8 May 2023 02:43:01 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-05-09 15:54:12.592952
• Title: Upper bounds for Grothendieck constants, quantum correlation matrices and CCP functions
• Title（参考訳）: グロタンディーク定数の上界、量子相関行列およびCCP関数
• Authors: Frank Oertel
• Abstract要約: 我々は、有名なグロタンディーク不等式における実かつ複素グロタンディーク定数$K_GmathbbF$のまだ未知の正確な値を求める(1953年以降未解決)。 また、Grothendieck(K_GmathbbR leq sinh(pi/2) approx 2.301$), Krivine(K_GmathbbR leq fracpi2 ln (1 + sqrt2)の有名な上界を復元する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Within the framework of the search for the still unknown exact value of the real and complex Grothendieck constant $K_G^\mathbb{F}$ in the famous Grothendieck inequality (unsolved since 1953), where $\mathbb{F}$ denotes either the real or the complex field, we concentrate our search on their smallest upper bound. To this end, we establish a basic framework, built on functions which map correlation matrices to correlation matrices entrywise by means of the Hadamard product, such as the Krivine function in the real case or the Haagerup function in the complex case. By making use of multivariate real and complex Gaussian analysis, higher transcendental functions, integration over spheres and combinatorics of the inversion of Maclaurin series, we provide an approach by which we also recover all famous upper bounds of Grothendieck himself ($K_G^\mathbb{R} \leq \sinh(\pi/2) \approx 2.301$), Krivine ($K_G^\mathbb{R} \leq \frac{\pi}{2 \ln(1 + \sqrt{2})} \approx 1,782$) and Haagerup ($K_G^\mathbb{C} \leq 1.405$, numerically approximated); each of them as a special case. In doing so, we aim to unify the real and complex case as much as possible and apply our results to several concrete examples, including the Walsh-Hadamard transform (''quantum gate'') and the multivariate Gaussian copula - with foundations of quantum theory and quantum information theory in mind. Moreover, we offer a shortening and a simplification of the proof of the strongest estimation until now; namely that $K_G^\mathbb{R} < \frac{\pi}{2 \ln(1 + \sqrt{2})}$. We summarise our key results in form of an algorithmic scheme and shed light on related open problems and topics for future research.
• Abstract（参考訳）: 有名なグロタンディーク不等式 (1953年以降未解決) における実および複素グロタンディーク定数 $k_g^\mathbb{f}$ の未知の正確な値の探索の枠組みの中で、$\mathbb{f}$ は実体または複素体を表すので、最小の上界に集中する。 この目的のために我々は、実ケースにおけるクリヴィン函数や複素ケースにおけるハージェープ関数のようなアダマール積を用いて、相関行列と相関行列をエントリー的に対応付ける関数の上に構築された基本的枠組みを確立する。 By making use of multivariate real and complex Gaussian analysis, higher transcendental functions, integration over spheres and combinatorics of the inversion of Maclaurin series, we provide an approach by which we also recover all famous upper bounds of Grothendieck himself ($K_G^\mathbb{R} \leq \sinh(\pi/2) \approx 2.301$), Krivine ($K_G^\mathbb{R} \leq \frac{\pi}{2 \ln(1 + \sqrt{2})} \approx 1,782$) and Haagerup ($K_G^\mathbb{C} \leq 1.405$, numerically approximated); each of them as a special case. そうすることで、実および複素のケースを可能な限り統一し、ウォルシュ・ハダマード変換('量子ゲート')や多変量ガウス・コプラ(量子論と量子情報理論の基盤を念頭に置いて)などいくつかの具体的な例に結果を応用することを目指している。 さらに、これまで最強推定の証明の短縮と単純化、すなわち$K_G^\mathbb{R} < \frac{\pi}{2 \ln(1 + \sqrt{2})}$である。 我々は,アルゴリズムスキームの形で重要な結果を要約し,関連するオープン問題と今後の研究課題について考察する。

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