論文の概要: Upper bounds for Grothendieck constants, quantum correlation matrices and CCP functions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2305.04428v2
• Date: Sat, 11 Jan 2025 22:02:32 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-01-14 14:21:01.923716
• Title: Upper bounds for Grothendieck constants, quantum correlation matrices and CCP functions
• Title（参考訳）: グロタンディーク定数の上界、量子相関行列およびCCP関数
• Authors: Frank Oertel,
• Abstract要約: 我々は、有名なグロタンディーク不等式における実かつ複素グロタンディーク定数$K_GmathbbF$のまだ未知の正確な値を求める(1953年以降未解決)。 また、Grothendieck(K_GmathbbR leq sinh(pi/2) approx 2.301$), Krivine(K_GmathbbR leq fracpi2 ln (1 + sqrt2)の有名な上界を復元する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: Within the framework of the search for the still unknown exact value of the real and complex Grothendieck constant $K_G^\mathbb{F}$ in the famous Grothendieck inequality (unsolved since 1953), where $\mathbb{F}$ denotes either the real or the complex field, we concentrate our search on their smallest upper bound. To this end, we establish a basic framework, built on functions which map correlation matrices to correlation matrices entrywise by means of the Hadamard product, such as the Krivine function in the real case or the Haagerup function in the complex case. By making use of multivariate real and complex Gaussian analysis, higher transcendental functions, integration over spheres and combinatorics of the inversion of Maclaurin series, we provide an approach by which we also recover all famous upper bounds of Grothendieck himself ($K_G^\mathbb{R} \leq \sinh(\pi/2) \approx 2.301$), Krivine ($K_G^\mathbb{R} \leq \frac{\pi}{2 \ln(1 + \sqrt{2})} \approx 1,782$) and Haagerup ($K_G^\mathbb{C} \leq 1.405$, numerically approximated); each of them as a special case. In doing so, we aim to unify the real and complex case as much as possible and apply our results to several concrete examples, including the Walsh-Hadamard transform (''quantum gate'') and the multivariate Gaussian copula - with foundations of quantum theory and quantum information theory in mind. Moreover, we offer a shortening and a simplification of the proof of the strongest estimation until now; namely that $K_G^\mathbb{R} < \frac{\pi}{2 \ln(1 + \sqrt{2})}$. We summarise our key results in form of an algorithmic scheme and shed light on related open problems and topics for future research.
• Abstract（参考訳）: 実かつ複素グロタンディーク定数 $K_G^\mathbb{F}$ のまだ未知の正確な値を求める枠組みの中では、有名なグロタンディーク不等式(1953年以降未解決)において、$\mathbb{F}$ は実あるいは複素体を表す。 この目的のために我々は、実ケースにおけるクリヴィン函数や複素ケースにおけるハージェープ関数のようなアダマール積を用いて、相関行列と相関行列をエントリー的に対応付ける関数の上に構築された基本的枠組みを確立する。 多変量実数および複素ガウス解析、高次超越関数、マクローリン級数の逆転の球面とコンビネータの積分を利用して、グロタンディーク自身(K_G^\mathbb{R} \leq \sinh(\pi/2) \approx 2.301$), Krivine ($K_G^\mathbb{R} \leq \frac{\pi}{2 \ln(1 + \sqrt{2})} \approx 1,782$) と Haagerup ($K_G^\mathbb{C} \leq 1.405$) のすべての有名な上界を復元するアプローチを提供する。 その際、実ケースと複素ケースを可能な限り統一し、ウォルシュ・ハダマール変換('量子ゲート'')や多変量ガウスコプラ(量子理論と量子情報理論の基礎を念頭に置いた多変量ガウスコプラ)など、いくつかの具体例に結果を適用することを目的としている。 さらに、これまで最強推定の証明の短縮と単純化、すなわち$K_G^\mathbb{R} < \frac{\pi}{2 \ln(1 + \sqrt{2})}$である。 我々は、主要な結果をアルゴリズムスキームの形で要約し、今後の研究のために、関連するオープンな問題とトピックに光を当てる。

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