論文の概要: Global universal approximation of functional input maps on weighted spaces

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.03303v4
• Date: Mon, 03 Feb 2025 02:10:09 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-04 16:06:00.740491
• Title: Global universal approximation of functional input maps on weighted spaces
• Title（参考訳）: 重み付き空間上の関数入力写像の大域的普遍近似
• Authors: Christa Cuchiero, Philipp Schmocker, Josef Teichmann,
• Abstract要約: 無限次元の重み付き空間上で定義されたいわゆる関数型入力ニューラルネットワークを導入し、無限次元の出力空間にも値を導入する。 連続函数に対する重み付き空間上の大域的普遍近似結果が、コンパクト集合上の通常の近似を超えていることを証明する。 署名核のヒルベルト核空間の再現は、ある種のガウス過程のキャメロン・マルティン空間であることを強調する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.386401892906348
• License:
• Abstract: We introduce so-called functional input neural networks defined on a possibly infinite dimensional weighted space with values also in a possibly infinite dimensional output space. To this end, we use an additive family to map the input weighted space to the hidden layer, on which a non-linear scalar activation function is applied to each neuron, and finally return the output via some linear readouts. Relying on Stone-Weierstrass theorems on weighted spaces, we can prove a global universal approximation result on weighted spaces for continuous functions going beyond the usual approximation on compact sets. This then applies in particular to approximation of (non-anticipative) path space functionals via functional input neural networks. As a further application of the weighted Stone-Weierstrass theorem we prove a global universal approximation result for linear functions of the signature. We also introduce the viewpoint of Gaussian process regression in this setting and emphasize that the reproducing kernel Hilbert space of the signature kernels are Cameron-Martin spaces of certain Gaussian processes. This paves a way towards uncertainty quantification for signature kernel regression.
• Abstract（参考訳）: 無限次元の重み付き空間上で定義されたいわゆる関数型入力ニューラルネットワークを導入し、無限次元の出力空間にも値を導入する。 この目的のために、入力された重み付き空間を隠れた層にマッピングするために、加算族を用いており、そこでは、非線形スカラー活性化関数が各ニューロンに適用され、最後に、線形読み出しによって出力を返す。 重み付き空間上のストーン・ワイエルシュトラスの定理に基づき、連続函数の重み付き空間に対する大域的普遍近似結果がコンパクト集合上の通常の近似を超えることを証明できる。 これは特に、関数入力ニューラルネットワークによる(予想外の)経路空間汎関数の近似に適用される。 重み付けされたストーン・ワイエルシュトラスの定理のさらなる応用として、シグネチャの線型函数に対する大域的普遍近似結果が証明される。 また、この設定でガウス過程回帰の視点を導入し、符号核の再生核ヒルベルト空間がガウス過程のキャメロン・マルティン空間であることを強調する。 これにより、シグネチャカーネルの回帰に対する不確実性定量化への道が開かれた。

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