論文の概要: Kernel Operator-Theoretic Bayesian Filter for Nonlinear Dynamical Systems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.00198v1
• Date: Thu, 31 Oct 2024 20:31:31 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-05 14:49:55.713603
• Title: Kernel Operator-Theoretic Bayesian Filter for Nonlinear Dynamical Systems
• Title（参考訳）: 非線形力学系に対するカーネル演算子理論ベイズフィルタ
• Authors: Kan Li, José C. Príncipe,
• Abstract要約: 本稿では,演算子理論モデリングのための機能的ベイズ的視点に基づく機械学習手法を提案する。 この定式化は、線型作用素の無限次元空間や普遍近似特性を持つヒルベルト空間で直接行われる。 この実践的手法は正確な結果を得ることができ、有限次元クープマン分解より優れることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 25.922732994397485
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• Abstract: Motivated by the surge of interest in Koopman operator theory, we propose a machine-learning alternative based on a functional Bayesian perspective for operator-theoretic modeling of unknown, data-driven, nonlinear dynamical systems. This formulation is directly done in an infinite-dimensional space of linear operators or Hilbert space with universal approximation property. The theory of reproducing kernel Hilbert space (RKHS) allows the lifting of nonlinear dynamics to a potentially infinite-dimensional space via linear embeddings, where a general nonlinear function is represented as a set of linear functions or operators in the functional space. This allows us to apply classical linear Bayesian methods such as the Kalman filter directly in the Hilbert space, yielding nonlinear solutions in the original input space. This kernel perspective on the Koopman operator offers two compelling advantages. First, the Hilbert space can be constructed deterministically, agnostic to the nonlinear dynamics. The Gaussian kernel is universal, approximating uniformly an arbitrary continuous target function over any compact domain. Second, Bayesian filter is an adaptive, linear minimum-variance algorithm, allowing the system to update the Koopman operator and continuously track the changes across an extended period of time, ideally suited for modern data-driven applications such as real-time machine learning using streaming data. In this paper, we present several practical implementations to obtain a finite-dimensional approximation of the functional Bayesian filter (FBF). Due to the rapid decay of the Gaussian kernel, excellent approximation is obtained with a small dimension. We demonstrate that this practical approach can obtain accurate results and outperform finite-dimensional Koopman decomposition.
• Abstract（参考訳）: クープマン作用素理論への関心の高まりにより、未知のデータ駆動非線形力学系の作用素-理論モデリングのための機能的ベイズ的視点に基づく機械学習代替案を提案する。 この定式化は、線型作用素の無限次元空間や普遍近似特性を持つヒルベルト空間で直接行われる。 再生核ヒルベルト空間(RKHS)の理論は、一般非線形函数が函数空間内の線型函数の集合として表されるような線型埋め込みを通じて、潜在的無限次元空間への非線形力学の持ち上げを可能にする。 これにより、カルマンフィルタのような古典的線型ベイズ法をヒルベルト空間に直接適用することができ、元の入力空間で非線形解が得られる。 Koopman演算子におけるこのカーネルの観点は、2つの魅力的な利点を提供する。 まず、ヒルベルト空間は決定論的に、非線形力学に非依存に構築することができる。 ガウス核は普遍的であり、任意のコンパクト領域上の任意の連続目標函数を均一に近似する。 第二に、ベイジアンフィルタは適応的で線形な最小分散アルゴリズムであり、システムはKoopman演算子を更新し、変化を長期にわたって継続的に追跡することができる。 本稿では,関数ベイズフィルタ(FBF)の有限次元近似を得るための実用的実装について述べる。 ガウス核の急激な崩壊により、小さな次元で優れた近似が得られる。 この実践的手法は正確な結果を得ることができ、有限次元クープマン分解より優れることを示す。

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