論文の概要: A Framework for Fast and Stable Representations of Multiparameter Persistent Homology Decompositions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.11170v1
• Date: Mon, 19 Jun 2023 21:28:53 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-06-21 16:22:38.759806
• Title: A Framework for Fast and Stable Representations of Multiparameter Persistent Homology Decompositions
• Title（参考訳）: 多パラメータ持続ホモロジー分解の高速かつ安定表現のためのフレームワーク
• Authors: David Loiseaux, Mathieu Carri\`ere, Andrew J. Blumberg
• Abstract要約: 本稿では,複数パラメータの持続的ホモロジーのエム分解における最近の結果を活用する,新しい汎用表現フレームワークを提案する。 我々は,この枠組みの下で理論安定性の保証と,実用的な計算のための効率的なアルゴリズムを確立する。 いくつかの実データに対して,統計的収束,予測精度,高速実行時間を示す数値実験により,安定性とアルゴリズムの検証を行った。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.76240219662896
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Topological data analysis (TDA) is an area of data science that focuses on using invariants from algebraic topology to provide multiscale shape descriptors for geometric data sets such as point clouds. One of the most important such descriptors is {\em persistent homology}, which encodes the change in shape as a filtration parameter changes; a typical parameter is the feature scale. For many data sets, it is useful to simultaneously vary multiple filtration parameters, for example feature scale and density. While the theoretical properties of single parameter persistent homology are well understood, less is known about the multiparameter case. In particular, a central question is the problem of representing multiparameter persistent homology by elements of a vector space for integration with standard machine learning algorithms. Existing approaches to this problem either ignore most of the multiparameter information to reduce to the one-parameter case or are heuristic and potentially unstable in the face of noise. In this article, we introduce a new general representation framework that leverages recent results on {\em decompositions} of multiparameter persistent homology. This framework is rich in information, fast to compute, and encompasses previous approaches. Moreover, we establish theoretical stability guarantees under this framework as well as efficient algorithms for practical computation, making this framework an applicable and versatile tool for analyzing geometric and point cloud data. We validate our stability results and algorithms with numerical experiments that demonstrate statistical convergence, prediction accuracy, and fast running times on several real data sets.
• Abstract（参考訳）: トポロジカルデータ分析(TDA)は、代数的トポロジの不変量を用いて、点雲のような幾何学的データセットのための多スケール形状記述子を提供するデータ科学の分野である。 そのような記述子のうち最も重要なものの一つが「em persistent homology」であり、これは濾過パラメータの変化として形状の変化をエンコードする。 多くのデータセットでは、機能スケールや密度など、複数のフィルタリングパラメータを同時に変更することが有用である。 単一パラメータ持続ホモロジーの理論的性質はよく理解されているが、マルチパラメータの場合についてはあまり知られていない。 特に中心的な問題は、標準的な機械学習アルゴリズムと統合するためのベクトル空間の要素によるマルチパラメータ永続ホモロジーの表現の問題である。 この問題に対する既存のアプローチは、マルチパラメータ情報のほとんどを無視して1パラメータのケースに還元するか、あるいはノイズに直面してヒューリスティックで潜在的に不安定である。 本稿では,マルチパラメータ持続ホモロジーの「em分解」に関する最近の結果を活用する新しい汎用表現フレームワークを提案する。 このフレームワークは情報に富み、計算が速く、以前のアプローチを包含している。 さらに,本フレームワークの理論的安定性の保証と,実用的な計算のための効率的なアルゴリズムを確立し,幾何学的および点クラウドデータを解析するための応用的で汎用的なツールとした。 いくつかの実データに対して,統計的収束,予測精度,高速実行時間を示す数値実験により,安定性とアルゴリズムの検証を行った。

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