論文の概要: Learning Homogenization for Elliptic Operators
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.12006v2
- Date: Fri, 7 Jul 2023 17:23:50 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-07-10 14:56:28.071951
- Title: Learning Homogenization for Elliptic Operators
- Title（参考訳）: 楕円作用素の学習均質化
- Authors: Kaushik Bhattacharya, Nikola Kovachki, Aakila Rajan, Andrew M. Stuart,
Margaret Trautner
- Abstract要約: マルチスケール偏微分方程式(PDE)は様々な応用で発生し、効率的な解法としていくつかのスキームが開発されている。
ホモジェナイゼーション理論(英語版)は、小さな依存を取り除く強力な方法論であり、結果として単純な方程式が引き起こされる。
連続体力学の分野では、マイクロスケール物理学を包含する法則を導出し、興味のある量の法則を定式化するためにホモジェナイゼーションが不可欠である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.512295869673147
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Multiscale partial differential equations (PDEs) arise in various
applications, and several schemes have been developed to solve them
efficiently. Homogenization theory is a powerful methodology that eliminates
the small-scale dependence, resulting in simplified equations that are
computationally tractable. In the field of continuum mechanics, homogenization
is crucial for deriving constitutive laws that incorporate microscale physics
in order to formulate balance laws for the macroscopic quantities of interest.
However, obtaining homogenized constitutive laws is often challenging as they
do not in general have an analytic form and can exhibit phenomena not present
on the microscale. In response, data-driven learning of the constitutive law
has been proposed as appropriate for this task. However, a major challenge in
data-driven learning approaches for this problem has remained unexplored: the
impact of discontinuities and corner interfaces in the underlying material.
These discontinuities in the coefficients affect the smoothness of the
solutions of the underlying equations. Given the prevalence of discontinuous
materials in continuum mechanics applications, it is important to address the
challenge of learning in this context; in particular to develop underpinning
theory to establish the reliability of data-driven methods in this scientific
domain. The paper addresses this unexplored challenge by investigating the
learnability of homogenized constitutive laws for elliptic operators in the
presence of such complexities. Approximation theory is presented, and numerical
experiments are performed which validate the theory for the solution operator
defined by the cell-problem arising in homogenization for elliptic PDEs.
- Abstract（参考訳）: マルチスケール偏微分方程式(PDE)は様々な応用に現れ、効率的に解くためにいくつかのスキームが開発されている。
ホモゲナイズ理論は、小規模の依存を取り除き、計算的に扱いやすい簡単な方程式を生み出す強力な方法論である。
連続体力学の分野では、マイクロスケール物理学を包含する構成法則を導出し、巨視的興味量に対する法則を定式化するためにホモジェナイゼーションが不可欠である。
しかし、一般に解析形式を持たず、マイクロスケールに存在しない現象を示すため、均質化された構成法則を得るのは難しいことが多い。
これに対し, 構成法則に関するデータ駆動学習が課題として提案されている。
しかし、この問題に対するデータ駆動学習アプローチにおける大きな課題は、基礎となる素材における不連続とコーナーインターフェースの影響である。
これらの係数の不連続性は、基礎となる方程式の解の滑らかさに影響する。
連続力学応用における不連続材料の普及を考えると、この文脈における学習の課題に対処し、特に、この科学的領域におけるデータ駆動法の信頼性を確立するための基礎理論を開発することが重要である。
本論文は, 楕円型作用素に対する同質化構成法則の, 複素数の存在下での学習可能性について検討することによって, 未解明の課題に対処する。
近似理論を示し、楕円型PDEの均質化で生じるセルプロブレムによって定義される解作用素の理論を検証する数値実験を行った。
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