論文の概要: Continuum Limits of Ollivier's Ricci Curvature on data clouds: pointwise consistency and global lower bounds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.02378v1
• Date: Wed, 5 Jul 2023 15:45:53 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-07-06 13:05:07.406657
• Title: Continuum Limits of Ollivier's Ricci Curvature on data clouds: pointwise consistency and global lower bounds
• Title（参考訳）: データクラウド上のOllivierのリッチ曲率の連続極限:点的整合性と大域的下界
• Authors: Nicolas Garcia Trillos, Melanie Weber
• Abstract要約: 我々は、$mathcalX$から構築されたランダムな幾何グラフの曲率と、Ollivierの離散リッチ曲率の連続極限による多様体$mathcalM$の曲率の関係について検討する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.04585143845864
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Let $\mathcal{M} \subseteq \mathbb{R}^d$ denote a low-dimensional manifold and let $\mathcal{X}= \{ x_1, \dots, x_n \}$ be a collection of points uniformly sampled from $\mathcal{M}$. We study the relationship between the curvature of a random geometric graph built from $\mathcal{X}$ and the curvature of the manifold $\mathcal{M}$ via continuum limits of Ollivier's discrete Ricci curvature. We prove pointwise, non-asymptotic consistency results and also show that if $\mathcal{M}$ has Ricci curvature bounded from below by a positive constant, then the random geometric graph will inherit this global structural property with high probability. We discuss applications of the global discrete curvature bounds to contraction properties of heat kernels on graphs, as well as implications for manifold learning from data clouds. In particular, we show that the consistency results allow for characterizing the intrinsic curvature of a manifold from extrinsic curvature.
• Abstract（参考訳）: $\mathcal{M} \subseteq \mathbb{R}^d$ は低次元多様体を表し、$\mathcal{X}= \{ x_1, \dots, x_n \}$ を $\mathcal{M}$ から一様にサンプリングされた点の集合とする。 我々は、$\mathcal{X}$から構築されたランダムな幾何グラフの曲率と多様体$\mathcal{M}$の曲率との関係を、Ollivierの離散リッチ曲率の連続極限を通して研究する。 点的に非漸近的一貫性の結果を証明し、もし$\mathcal{m}$ が下から正の定数で境界付けられたリッチ曲率を持つなら、ランダム幾何グラフは高確率でこの大域的構造特性を継承する。 グラフ上の熱核の収縮特性に対する大域的離散曲率境界の適用と、データクラウドからの多様体学習への応用について論じる。 特に、一貫性の結果は、多様体の内在曲率を外在曲率から特徴づけることができることを示す。

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