論文の概要: Canonical Typicality For Other Ensembles Than Micro-Canonical
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.15624v1
- Date: Fri, 28 Jul 2023 15:31:59 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-07-31 12:15:02.844251
- Title: Canonical Typicality For Other Ensembles Than Micro-Canonical
- Title（参考訳）: マイクロカノニカル以外のアンサンブルの正典型性
- Authors: Stefan Teufel, Roderich Tumulka, Cornelia Vogel
- Abstract要約: 正規の典型性を他のアンサンブルに一般化する。
任意の密度行列 $rho$ on $mathscrH_S$ に対して、小さな固有値を持つ波動関数 $psi$ は $rho_apsi$ が $tr_b rho$ に近いようなものであることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Canonical typicality is the known fact in quantum statistical mechanics that
for most wave functions $\psi$ from the unit sphere in a high-dimensional
subspace $\mathscr{H}_R$ (such as a micro-canonical subspace) of the Hilbert
space $\mathscr{H}_S=\mathscr{H}_a \otimes \mathscr{H}_b$ of a macroscopic
quantum system $S$ consisting of two subsystems $a$ and $b$, the reduced
density matrix $\rho_a^\psi := tr_b |\psi\rangle\langle\psi|$ is close to $tr_b
\rho_R$ and thus nearly deterministic, provided that $a$ is not too large. Here
$\rho_R$ is the projection to $\mathscr{H}_R$ normalized to trace $1$, and the
word ``most'' refers to the uniform distribution over the unit sphere in
$\mathscr{H}_R$, which for a micro-canonical subspace can be regarded as an
analog of the micro-canonical ensemble in classical statistical mechanics. In
this paper, we generalize canonical typicality to other ensembles, in
particular to an analog of the canonical ensemble, so our result expresses a
kind of equivalence of ensembles. For a general density matrix $\rho$, the
measure over the unit sphere that forms the analog of the uniform measure but
has density matrix $\rho$ is known as GAP$(\rho)$. We show that for any density
matrix $\rho$ on $\mathscr{H}_S$ with small eigenvalues, most wave functions
$\psi$ according to GAP$(\rho)$ are such that $\rho_a^\psi$ is close to $tr_b
\rho$. Our proof is based on a generalization of Levy's lemma (concentration of
measure) to GAP$(\rho)$. We also prove a variant of dynamical typicality for
$\rho_a^{\psi_t}$ with GAP$(\rho)$-typical $\psi_0$ and that the conditional
wave function $\psi_a$ has distribution close to GAP$(tr_b \rho)$ for typical
bases of $\mathscr{H}_b$ and GAP$(\rho)$-typical $\psi$.
- Abstract（参考訳）: Canonical typicality is the known fact in quantum statistical mechanics that for most wave functions $\psi$ from the unit sphere in a high-dimensional subspace $\mathscr{H}_R$ (such as a micro-canonical subspace) of the Hilbert space $\mathscr{H}_S=\mathscr{H}_a \otimes \mathscr{H}_b$ of a macroscopic quantum system $S$ consisting of two subsystems $a$ and $b$, the reduced density matrix $\rho_a^\psi := tr_b |\psi\rangle\langle\psi|$ is close to $tr_b \rho_R$ and thus nearly deterministic, provided that $a$ is not too large.
ここで、$\rho_r$ は$\mathscr{h}_r$ の射影であり、$`most' という言葉は、古典統計力学におけるマイクロカノニカルアンサンブルの類似と見なすことができる$\mathscr{h}_r$ における単位球面上の一様分布を指す。
本稿では,他のアンサンブル,特にカノニカルアンサンブルに類似したアンサンブルに対する正準の典型性を一般化する。
一般密度行列 $\rho$ に対して、一様測度のアナログを形成するが密度行列 $\rho$ を持つ単位球面上の測度は GAP$(\rho)$ として知られている。
任意の密度行列 $\rho$ on $\mathscr{H}_S$ に対して、GAP$(\rho)$ によるほとんどの波動関数 $\psi$ は、$\rho_a^\psi$ が $tr_b \rho$ に近いものであることを示す。
我々の証明は、レヴィの補題(測度集中)をGAP$(\rho)$に一般化したものである。
また、gap$(\rho)$-typical$\psi_0$ を持つ$\rho_a^{\psi_t}$ の力学特性の変種を証明し、条件付き波動関数 $\psi_a$ は$\mathscr{h}_b$ および gap$(\rho)$-typical $\psi$ の典型的な基底に対して gap$(tr_b \rho)$ に近い分布を持つことを証明した。
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