論文の概要: Canonical Typicality For Other Ensembles Than Micro-Canonical
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.15624v4
- Date: Thu, 30 May 2024 11:04:28 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-06-01 00:02:40.308253
- Title: Canonical Typicality For Other Ensembles Than Micro-Canonical
- Title（参考訳）: マイクロカノニカル以外のアンサンブルのカノニカルな典型性
- Authors: Stefan Teufel, Roderich Tumulka, Cornelia Vogel,
- Abstract要約: 最大固有値 $|rho|$ of $rho$ が小さいときは常に測定の集中が証明される。
分離可能なヒルベルト空間 $mathcalH$ 上の任意の密度行列 $rho$ に対して、GAP$(rho)$ は単位球面上で最も広がる確率測度である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We generalize L\'evy's lemma, a concentration-of-measure result for the uniform probability distribution on high-dimensional spheres, to a much more general class of measures, so-called GAP measures. For any given density matrix $\rho$ on a separable Hilbert space $\mathcal{H}$, GAP$(\rho)$ is the most spread out probability measure on the unit sphere of $\mathcal{H}$ that has density matrix $\rho$ and thus forms the natural generalization of the uniform distribution. We prove concentration-of-measure whenever the largest eigenvalue $\|\rho\|$ of $\rho$ is small. We use this fact to generalize and improve well-known and important typicality results of quantum statistical mechanics to GAP measures, namely canonical typicality and dynamical typicality. Canonical typicality is the statement that for ``most'' pure states $\psi$ of a given ensemble, the reduced density matrix of a sufficiently small subsystem is very close to a $\psi$-independent matrix. Dynamical typicality is the statement that for any observable and any unitary time-evolution, for ``most'' pure states $\psi$ from a given ensemble the (coarse-grained) Born distribution of that observable in the time-evolved state $\psi_t$ is very close to a $\psi$-independent distribution. So far, canonical typicality and dynamical typicality were known for the uniform distribution on finite-dimensional spheres, corresponding to the micro-canonical ensemble, and for rather special mean-value ensembles. Our result shows that these typicality results hold also for GAP$(\rho)$, provided the density matrix $\rho$ has small eigenvalues. Since certain GAP measures are quantum analogs of the canonical ensemble of classical mechanics, our results can also be regarded as a version of equivalence of ensembles.
- Abstract（参考訳）: 我々は、L\'evy's lemma(高次元球面上の一様確率分布の集中測定結果)を、より一般的な測度、いわゆるGAP測度に一般化する。
分離可能ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ 上の任意の密度行列 $\rho$ に対して、GAP$(\rho)$ は密度行列 $\rho$ の単位球面上で最も広がる確率測度であり、従って一様分布の自然な一般化を形成する。
最大固有値 $\|\rho\|$ が小さければいつでも、測定の集中を証明します。
我々はこの事実を利用して、量子統計力学のよく知られた、重要な典型をGAP測度、すなわち標準典型と動的典型に一般化し、改善する。
カノニカルな典型性は、与えられたアンサンブルの '`most'' 純状態 $\psi$ に対して、十分に小さな部分系の還元密度行列は$\psi$非依存行列に非常に近いという主張である。
動的典型性(Dynamical typicality)とは、任意の観測可能かつ任意のユニタリな時間進化に対して、与えられたアンサンブルから$\psi$(粗い粒度の)の値から$\psi$(\psi$-非依存分布に非常に近いという主張である。
これまでのところ、標準の典型性と力学の典型性は、有限次元球面上の一様分布、マイクロカノニカルアンサンブルに対応する、より特殊な平均値アンサンブルとして知られていた。
この結果は、密度行列 $\rho$ が小さな固有値を持つならば、GAP$(\rho)$ に対してもこれらの典型性が成り立つことを示している。
ある種のGAP測度は古典力学の正準アンサンブルの量子アナログであるため、我々の結果はアンサンブルの等価性のバージョンと見なすこともできる。
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