論文の概要: Solving PDEs on Spheres with Physics-Informed Convolutional Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2308.09605v2
• Date: Mon, 5 Aug 2024 08:53:12 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-08-07 00:25:32.802241
• Title: Solving PDEs on Spheres with Physics-Informed Convolutional Neural Networks
• Title（参考訳）: 物理インフォームド畳み込みニューラルネットワークを用いた球面上のPDEの解法
• Authors: Guanhang Lei, Zhen Lei, Lei Shi, Chenyu Zeng, Ding-Xuan Zhou,
• Abstract要約: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は偏微分方程式(PDE)の解法において効率的であることが示されている。 本稿では,物理インフォームド畳み込みニューラルネットワーク(PICNN)の厳密な解析を行い,球面上のPDEを解く。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 17.69666422395703
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Physics-informed neural networks (PINNs) have been demonstrated to be efficient in solving partial differential equations (PDEs) from a variety of experimental perspectives. Some recent studies have also proposed PINN algorithms for PDEs on surfaces, including spheres. However, theoretical understanding of the numerical performance of PINNs, especially PINNs on surfaces or manifolds, is still lacking. In this paper, we establish rigorous analysis of the physics-informed convolutional neural network (PICNN) for solving PDEs on the sphere. By using and improving the latest approximation results of deep convolutional neural networks and spherical harmonic analysis, we prove an upper bound for the approximation error with respect to the Sobolev norm. Subsequently, we integrate this with innovative localization complexity analysis to establish fast convergence rates for PICNN. Our theoretical results are also confirmed and supplemented by our experiments. In light of these findings, we explore potential strategies for circumventing the curse of dimensionality that arises when solving high-dimensional PDEs.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は、様々な実験的観点から偏微分方程式(PDE)を解くのに効率的であることが示されている。 いくつかの最近の研究は、球面を含む表面上のPDEに対するPINNアルゴリズムも提案している。 しかし、PINN、特に表面や多様体上のPINNの数値的性能に関する理論的理解はいまだに不足している。 本稿では,物理インフォームド畳み込みニューラルネットワーク(PICNN)の厳密な解析を行い,球面上のPDEを解く。 深部畳み込みニューラルネットワークの最新の近似結果と球面調和解析を用いて,ソボレフ標準に対する近似誤差の上限を証明した。 次に、これを革新的な局所化複雑性解析と統合し、PICNNの高速収束率を確立する。 また, 理論的結果も確認し, 補足した。 これらの知見を踏まえ,高次元PDEを解く際に生じる次元の呪いを回避するための潜在的戦略を探究する。

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