論文の概要: Symmetry Preservation in Hamiltonian Systems: Simulation and Learning
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2308.16331v1
- Date: Wed, 30 Aug 2023 21:34:33 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-09-01 18:17:29.486858
- Title: Symmetry Preservation in Hamiltonian Systems: Simulation and Learning
- Title（参考訳）: ハミルトン系の対称性保存:シミュレーションと学習
- Authors: Miguel Vaquero, Jorge Cort\'es and David Mart\'in de Diego
- Abstract要約: この研究は、ハミルトン系の力学をシミュレートし、学習するための一般的な幾何学的枠組みを示す。
我々は、$G$-不変ラグランジアン部分多様体の構築を通して興味ある写像をシミュレートし、学習することを提案する。
我々の設計は、シンプレクティック幾何学と幾何学力学において重要な技術と概念を活用する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.9208007322096532
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: This work presents a general geometric framework for simulating and learning
the dynamics of Hamiltonian systems that are invariant under a Lie group of
transformations. This means that a group of symmetries is known to act on the
system respecting its dynamics and, as a consequence, Noether's Theorem,
conserved quantities are observed. We propose to simulate and learn the
mappings of interest through the construction of $G$-invariant Lagrangian
submanifolds, which are pivotal objects in symplectic geometry. A notable
property of our constructions is that the simulated/learned dynamics also
preserves the same conserved quantities as the original system, resulting in a
more faithful surrogate of the original dynamics than non-symmetry aware
methods, and in a more accurate predictor of non-observed trajectories.
Furthermore, our setting is able to simulate/learn not only Hamiltonian flows,
but any Lie group-equivariant symplectic transformation. Our designs leverage
pivotal techniques and concepts in symplectic geometry and geometric mechanics:
reduction theory, Noether's Theorem, Lagrangian submanifolds, momentum
mappings, and coisotropic reduction among others. We also present methods to
learn Poisson transformations while preserving the underlying geometry and how
to endow non-geometric integrators with geometric properties. Thus, this work
presents a novel attempt to harness the power of symplectic and Poisson
geometry towards simulating and learning problems.
- Abstract（参考訳）: 本研究は、変換のリー群の下で不変なハミルトン系の力学をシミュレーションし学習するための一般的な幾何学的枠組みを示す。
これは、対称性の群がその力学を尊重する系に作用することが知られ、その結果、ネーターの定理は保存量として観測されることを意味する。
シンプレクティック幾何における重要な対象である,$g$不変ラグランジアン部分多様体の構成を通じて,興味のマッピングをシミュレートし学習することを提案する。
我々の構成の特筆すべき特徴は、シミュレーション/学習されたダイナミクスは元のシステムと同じ保存量を保持しており、非対称性の認識法よりも元のダイナミクスをより忠実にサロゲートし、非観測軌道のより正確な予測器となることである。
さらに,ハミルトニアンフローだけでなく,任意のリー群同変シンプレクティック変換をシミュレート/学習することができる。
我々の設計はシンプレクティック幾何学と幾何学力学において重要な技法と概念(還元理論、ネーターの定理、ラグランジュ部分多様体、運動量写像、共等方還元など)を利用する。
また,ポアソン変換の学習法として,基礎となる幾何学的特徴を持つ非幾何学的積分器の活用法を提案する。
そこで本研究では,シンプレクティック幾何学とポアソン幾何学のパワーをシミュレートし学習する新しい試みを提案する。
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