論文の概要: Closed form expressions for the Green's function of a quantum graph -- a scattering approach

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2309.11251v1
• Date: Wed, 20 Sep 2023 12:22:32 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-09-21 16:21:34.394531
• Title: Closed form expressions for the Green's function of a quantum graph -- a scattering approach
• Title（参考訳）: 量子グラフのグリーン関数に対する閉形式表現-散乱アプローチ
• Authors: Tristan Lawrie, Sven Gnutzmann, Gregor Tanner
• Abstract要約: 量子グラフ上でグリーン関数の閉形式表現を生成するための3段階の手順を提案する。 コンパクトグラフに対して、明示的な表現は離散エネルギー固有値の極上の和としてスペクトル分解と同値であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In this work we present a three step procedure for generating a closed form expression of the Green's function on both closed and open finite quantum graphs with general self-adjoint matching conditions. We first generalize and simplify the approach by Barra and Gaspard [Barra F and Gaspard P 2001, Phys. Rev. E {\bf 65}, 016205] and then discuss the validity of the explicit expressions. For compact graphs, we show that the explicit expression is equivalent to the spectral decomposition as a sum over poles at the discrete energy eigenvalues with residues that contain projector kernel onto the corresponding eigenstate. The derivation of the Green's function is based on the scattering approach, in which stationary solutions are constructed by treating each vertex or subgraph as a scattering site described by a scattering matrix. The latter can then be given in a simple closed form from which the Green's function is derived. The relevant scattering matrices contain inverse operators which are not well defined for wave numbers at which bound states in the continuum exists. It is shown that the singularities in the scattering matrix related to these bound states or perfect scars can be regularised. Green's functions or scattering matrices can then be expressed as a sum of a regular and a singular part where the singular part contains the projection kernel onto the perfect scar.
• Abstract（参考訳）: 本研究では,一般の自己共役マッチング条件を持つ閉および開両有限量子グラフ上のグリーン関数の閉形式式を生成するための3段階の手順を提案する。 まず、Barra と Gaspard [Barra F と Gaspard P 2001, Phys のアプローチを一般化し、単純化する。 rev. e {\bf 65}, 016205] を参照し、明示的な表現の妥当性について論じる。 コンパクトグラフの場合、明示的な表現は、離散エネルギー固有値の極の合計としてスペクトル分解と同値であり、射影核を含む剰余は対応する固有状態にある。 グリーン関数の導出は、各頂点または部分グラフを散乱行列によって記述された散乱点として扱うことにより定常解を構築する散乱アプローチに基づいている。 後者は、グリーン関数が導出される単純な閉形式で与えられる。 関連する散乱行列は、連続体の有界状態が存在する波動数についてよく定義されていない逆作用素を含む。 これらの境界状態や完全傷痕に関連する散乱行列の特異点を正規化できることが示されている。 グリーンの函数や散乱行列は正則部分と特異部分の和として表現され、特異部分は射影核を完全スカー上に含む。

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