論文の概要: Nonlinear embeddings for conserving Hamiltonians and other quantities
with Neural Galerkin schemes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.07485v1
- Date: Wed, 11 Oct 2023 13:32:04 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-10-14 02:34:38.130213
- Title: Nonlinear embeddings for conserving Hamiltonians and other quantities
with Neural Galerkin schemes
- Title（参考訳）: ニューラル・ガレルキンスキームによるハミルトンおよびその他の量の保存のための非線形埋め込み
- Authors: Paul Schwerdtner, Philipp Schulze, Jules Berman, Benjamin Peherstorfer
- Abstract要約: この研究は、偏微分方程式の解場がディープネットワークのような非線形パラメトリゼーションと近似されるとき、ハミルトン、質量、運動量などの量の保存に焦点を当てる。
提案手法は、ディラック-フランケル変分原理に基づくニューラル・ガレルキンスキームに基づいて、非線形パラメトリゼーションを逐次訓練する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.1509084774278489
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: This work focuses on the conservation of quantities such as Hamiltonians,
mass, and momentum when solution fields of partial differential equations are
approximated with nonlinear parametrizations such as deep networks. The
proposed approach builds on Neural Galerkin schemes that are based on the
Dirac--Frenkel variational principle to train nonlinear parametrizations
sequentially in time. We first show that only adding constraints that aim to
conserve quantities in continuous time can be insufficient because the
nonlinear dependence on the parameters implies that even quantities that are
linear in the solution fields become nonlinear in the parameters and thus are
challenging to discretize in time. Instead, we propose Neural Galerkin schemes
that compute at each time step an explicit embedding onto the manifold of
nonlinearly parametrized solution fields to guarantee conservation of
quantities. The embeddings can be combined with standard explicit and implicit
time integration schemes. Numerical experiments demonstrate that the proposed
approach conserves quantities up to machine precision.
- Abstract（参考訳）: この研究は、偏微分方程式の解場がディープネットワークのような非線形パラメトリゼーションと近似されるとき、ハミルトン、質量、運動量などの量の保存に焦点を当てる。
提案手法は,非線形パラメトリゼーションの逐次学習のためのdirac-frenkel変分原理に基づくニューラルガレルキンスキームに基づいている。
まず, パラメータの非線形依存は, 解場の線形な量でさえパラメータ内で非線形となることを示し, 時間内での離散化が困難であることから, 連続的に保存する量に制約を加えるだけでは不十分であることを示す。
代わりに,非線形パラメトリ化解体の多様体への明示的な埋め込みを各時間ステップで計算し,量保存を保証するニューラルガレルキンスキームを提案する。
埋め込みは、標準の明示的および暗黙的な時間統合スキームと組み合わせることができる。
数値実験により,提案手法が機械精度まで保存できることが示されている。
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