論文の概要: From Spectral Theorem to Statistical Independence with Application to
System Identification
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.10523v1
- Date: Mon, 16 Oct 2023 15:40:43 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-10-18 01:26:14.940317
- Title: From Spectral Theorem to Statistical Independence with Application to
System Identification
- Title（参考訳）: スペクトル理論から統計的独立へ : システム同定への応用
- Authors: Muhammad Abdullah Naeem, Amir Khazraei and Miroslav Pajic
- Abstract要約: 状態遷移行列 $|Ak|$ の有限パワーの崩壊率に関する最初の定量的ハンドルを提供する。
安定な力学系が 1 つの異なる固有値と差分しか持たないとき、$n-1$:$|A|$ は $n$ に依存することが示されている。
要素的誤差は、本質的にはよく知られたリトルウッド・オフォード問題の変種であることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.98319841778396
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: High dimensional random dynamical systems are ubiquitous, including -- but
not limited to -- cyber-physical systems, daily return on different stocks of
S&P 1500 and velocity profile of interacting particle systems around
McKeanVlasov limit. Mathematically, underlying phenomenon can be captured via a
stable $n$-dimensional linear transformation `$A$' and additive randomness.
System identification aims at extracting useful information about underlying
dynamical system, given a length $N$ trajectory from it (corresponds to an $n
\times N$ dimensional data matrix). We use spectral theorem for non-Hermitian
operators to show that spatio-temperal correlations are dictated by the
discrepancy between algebraic and geometric multiplicity of distinct
eigenvalues corresponding to state transition matrix. Small discrepancies imply
that original trajectory essentially comprises of multiple lower dimensional
random dynamical systems living on $A$ invariant subspaces and are
statistically independent of each other. In the process, we provide first
quantitative handle on decay rate of finite powers of state transition matrix
$\|A^{k}\|$ . It is shown that when a stable dynamical system has only one
distinct eigenvalue and discrepancy of $n-1$: $\|A\|$ has a dependence on $n$,
resulting dynamics are spatially inseparable and consequently there exist at
least one row with covariates of typical size $\Theta\big(\sqrt{N-n+1}$
$e^{n}\big)$ i.e., even under stability assumption, covariates can suffer from
curse of dimensionality. In the light of these findings we set the stage for
non-asymptotic error analysis in estimation of state transition matrix $A$ via
least squares regression on observed trajectory by showing that element-wise
error is essentially a variant of well-know Littlewood-Offord problem.
- Abstract（参考訳）: サイバーフィジカルシステム、s&p 1500の異なるストックに対する日々のリターン、mckeanvlasovリミット周辺の相互作用粒子系の速度プロファイルなどを含む、高次元のランダム力学系はユビキタスである。
数学的には、基礎となる現象は安定な$n$-次元線型変換 `$a$' と加法ランダムネスによって捉えることができる。
システム同定は、基礎となる力学系に関する有用な情報を抽出することを目的としており、それから長さ$n$の軌道(n \times n$ 次元データ行列に対応)が与えられる。
非エルミート作用素に対するスペクトル定理を用いて、状態遷移行列に対応する異なる固有値の代数的および幾何学的多重性の差によって時空間相関が引き起こされることを示す。
小さな相違点は、元の軌道は本質的には$A$不変部分空間上の複数の低次元ランダムな力学系から成り、統計的に互いに独立であることを意味する。
この過程において、状態遷移行列 $\|a^{k}\|$ の有限の力の減衰率に関する最初の定量的な取り扱いを提供する。
安定な力学系が 1 つの固有値しか持たず、その差が $n-1$ であることが示されている: $\|a\|$ は $n$ に依存するので、結果として得られる力学系は空間的に分離できず、典型的大きさの共変量を持つ少なくとも 1 行が存在する。
これらの結果を踏まえて、要素分解誤差が本質的によく知られたリトルウッド・オブフォード問題の変種であることを示すことにより、観測軌道上の状態遷移行列 $a$ の最小二乗回帰推定における非漸近的誤差解析の段階を設定した。
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