論文の概要: Synthesis and Arithmetic of Single Qutrit Circuits

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.08696v2
• Date: Thu, 16 Nov 2023 19:02:30 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-11-20 10:09:41.367229
• Title: Synthesis and Arithmetic of Single Qutrit Circuits
• Title（参考訳）: 単一量子回路の合成と算術
• Authors: Amolak Ratan Kalra, Dinesh Valluri, Michele Mosca
• Abstract要約: 本稿では,Clifford+$mathcalD$ゲート集合上の単語からなる単一量子回路について検討する。 我々は、$mathbbZ[xi, frac1chi]$のエントリを持つクォート単位ベクトルのクラスを$z$で特徴づける。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.9208007322096532
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In this paper we study single qutrit quantum circuits consisting of words over the Clifford+ $\mathcal{D}$ gate set, where $\mathcal{D}$ consists of cyclotomic gates of the form $\text{diag}(\pm\xi^{a},\pm\xi^{b},\pm\xi^{c}),$ where $\xi$ is a primitive $9$-th root of unity and $a,b,c$ are integers. We characterize classes of qutrit unit vectors $z$ with entries in $\mathbb{Z}[\xi, \frac{1}{\chi}]$ based on the possibility of reducing their smallest denominator exponent (sde) with respect to $\chi := 1 - \xi,$ by acting an appropriate gate in Clifford+$\mathcal{D}$. We do this by studying the notion of `derivatives mod $3$' of an arbitrary element of $\mathbb{Z}[\xi]$ and using it to study the smallest denominator exponent of $HDz$ where $H$ is the qutrit Hadamard gate and $D \in \mathcal{D}.$ In addition, we reduce the problem of finding all unit vectors of a given sde to that of finding integral solutions of a positive definite quadratic form along with some additional constraints. As a consequence we prove that the Clifford + $\mathcal{D}$ gates naturally arise as gates with sde $0$ and $3$ in the group $U(3,\mathbb{Z}[\xi, \frac{1}{\chi}])$ of $3 \times 3$ unitaries with entries in $\mathbb{Z}[\xi, \frac{1}{\chi}]$
• Abstract（参考訳）: 本稿では、clifford+$\mathcal{d}$ gate set 上の単語からなる単一量子回路について研究し、ここで $\mathcal{d}$ は、$\text{diag}(\pm\xi^{a},\pm\xi^{b},\pm\xi^{c}) という形のサイクロトミックゲートからなる。 我々は、$\chi := 1 - \xi に対して最小の分母指数(sde)を減少させる可能性に基づいて、$\mathbb{Z}[\xi, \frac{1}{\chi}]$のエントリを持つクォート単位ベクトルのクラス $z$ を Clifford+$\mathcal{D}$ の適切なゲートを作用させることにより特徴づける。 我々は、$\mathbb{Z}[\xi]$ の任意の元の ‘デリバティブ mod $3$' の概念を研究し、それを使って$HDz$ の最小の分母指数を研究し、$H$ は qutrit Hadamard gate と $D \in \mathcal{D} である。 さらに、与えられたスデーのすべての単位ベクトルを見つける問題は、いくつかの追加の制約とともに正定値二次形式の積分解を見つける問題に還元する。 その結果、clifford + $\mathcal{d}$ gates は sde $0$ と sde $ u(3,\mathbb{z}[\xi, \frac{1}{\chi}])$ of $3 \times 3$ unitaries with entry in $\mathbb{z}[\xi, \frac{1}{\chi}]$ のゲートとして自然に発生する。

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