論文の概要: SIC-POVMs from Stark units: Prime dimensions n^2+3
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2112.05552v2
- Date: Wed, 10 Aug 2022 11:38:06 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-04 22:43:35.702005
- Title: SIC-POVMs from Stark units: Prime dimensions n^2+3
- Title（参考訳）: スターク単位からのSIC-POVM:素次元n^2+3
- Authors: Marcus Appleby, Ingemar Bengtsson, Markus Grassl, Michael Harrison,
Gary McConnell
- Abstract要約: 複素ヒルベルト空間の次元$d=n2+3$のSICフィデューシャルベクトルを構成するためのレシピを示す。
このような構造は、この種の13の素次元に存在することが示され、最も高いものは$p=19603$である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.41998444721319206
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We propose a recipe for constructing a SIC fiducial vector in complex Hilbert
space of dimension of the form $d=n^2+3$, focussing on prime dimensions $d=p$.
Such structures are shown to exist in thirteen prime dimensions of this kind,
the highest being $p=19603$.
The real quadratic base field $K$ (in the standard SIC terminology) attached
to such dimensions has fundamental units $u_K$ of norm $-1$. Let $\mathbb{Z}_K$
denote the ring of integers of $K$, then $p\mathbb{Z}_K$ splits into two ideals
$\mathfrak{p}$ and $\mathfrak{p}'$. The initial entry of the fiducial is the
square $\xi^2$ of a geometric scaling factor $\xi$, which lies in one of the
fields $K(\sqrt{u_K})$. Strikingly, the other $p-1$ entries of the fiducial
vector are each the product of $\xi$ and the square root of a Stark unit. These
Stark units are obtained via the Stark conjectures from the value at $s=0$ of
the first derivatives of partial $L$ functions attached to the characters of
the ray class group of $\mathbb{Z}_K$ with modulus $\mathfrak{p}\infty_1$,
where $\infty_1$ is one of the real places of $K$.
- Abstract（参考訳）: 本稿では、素次元$d=n^2+3$という形の複素ヒルベルト空間におけるsicフィドクシアルベクトルを構築するためのレシピを提案する。
このような構造は13の素次元に存在し、最も高いものは$p=19603$である。
そのような次元に付随する実二次基底体 $k$ は、基本単位 $u_k$ のノルム $-1$ を持つ。
$\mathbb{Z}_K$ を$K$ の整数環とすると、$p\mathbb{Z}_K$ は $\mathfrak{p}$ と $\mathfrak{p}'$ の2つのイデアルに分けられる。
fiducial の最初のエントリは、幾何学的スケーリング係数 $\xi$ の正方形 $\xi^2$ であり、これはフィールド $k(\sqrt{u_k})$ の1つにある。
驚くべきことに、fiducial vectorの他の$p-1$エントリは、それぞれ$\xi$の積とスターク単位の平方根である。
これらのスターク単位は、レイ類群の文字に付随する部分的$l$関数の最初の導関数の $s=0$ の値からスターク予想によって得られる: $\mathbb{z}_k$ with modulus $\mathfrak{p}\infty_1$, ここで $\infty_1$ は $k$ の実所の1つである。
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