論文の概要: The Tempered Hilbert Simplex Distance and Its Application To Non-linear Embeddings of TEMs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.13459v1
• Date: Wed, 22 Nov 2023 15:24:29 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-11-23 14:38:15.121105
• Title: The Tempered Hilbert Simplex Distance and Its Application To Non-linear Embeddings of TEMs
• Title（参考訳）: テンパー付きヒルベルト単純距離とそのtemの非線形埋め込みへの応用
• Authors: Ehsan Amid, Frank Nielsen, Richard Nock, Manfred K. Warmuth
• Abstract要約: 負のテンパー付きエントロピー関数のルジャンドル関数を介して、有限離散TEMの3つの異なるパラメータ化を導入する。 ヒルベルト幾何学と同様に、テンパードヒルベルト距離は、向き付けられたテンパードファンク距離の$t$-対称性として特徴づけられる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 36.135201624191026
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Tempered Exponential Measures (TEMs) are a parametric generalization of the exponential family of distributions maximizing the tempered entropy function among positive measures subject to a probability normalization of their power densities. Calculus on TEMs relies on a deformed algebra of arithmetic operators induced by the deformed logarithms used to define the tempered entropy. In this work, we introduce three different parameterizations of finite discrete TEMs via Legendre functions of the negative tempered entropy function. In particular, we establish an isometry between such parameterizations in terms of a generalization of the Hilbert log cross-ratio simplex distance to a tempered Hilbert co-simplex distance. Similar to the Hilbert geometry, the tempered Hilbert distance is characterized as a $t$-symmetrization of the oriented tempered Funk distance. We motivate our construction by introducing the notion of $t$-lengths of smooth curves in a tautological Finsler manifold. We then demonstrate the properties of our generalized structure in different settings and numerically examine the quality of its differentiable approximations for optimization in machine learning settings.
• Abstract（参考訳）: テンパード指数測度(TEMs)は、そのパワー密度の確率正規化の対象となる正の測度の中で、テンパードエントロピー関数を最大化する指数関数列のパラメトリック一般化である。 TEM上の計算は、テンパー付きエントロピーを定義するために使われる変形対数によって誘導される算術演算子の変形代数に依存する。 本研究では、負のテンパー付きエントロピー関数のルジャンドル関数を介して、有限離散TEMの3つの異なるパラメータ化を導入する。 特に、ヒルベルト対数クロス比単純度距離をテンパー付きヒルベルト共相距離に一般化する観点から、そのようなパラメータ化の間の等長性を確立する。 ヒルベルト幾何学と同様に、テンパードヒルベルト距離は向き付けられたテンパードファンク距離の$t$対称性として特徴づけられる。 我々は、タトロジーフィンスラー多様体において滑らかな曲線の$t$長の概念を導入することで、構築を動機付けている。 次に,この一般化構造の性質を異なる設定で示し,機械学習環境での最適化のためのその微分可能近似の質を数値的に検証する。

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