論文の概要: Symmetry & Critical Points for Symmetric Tensor Decomposition Problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.07886v3
• Date: Mon, 7 Aug 2023 10:01:49 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-08-08 22:43:18.139910
• Title: Symmetry & Critical Points for Symmetric Tensor Decomposition Problems
• Title（参考訳）: 対称テンソル分解問題の対称性と臨界点
• Authors: Yossi Arjevani, Gal Vinograd
• Abstract要約: 実対称テンソルをランク1項の和に分解する非最適化問題を考える。 使用法は、問題次元においてプーズ級数で表される臨界点の無限の族を構成するためのリッチ対称性構造から成り立っている。 すべての臨界点に対して生じる望ましくない現象は、対象関数の値によって増加する負のヘッセン固有値の数を懸念する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.650108973968032
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We consider the nonconvex optimization problem associated with the decomposition of a real symmetric tensor into a sum of rank one terms. Use is made of the rich symmetry structure to construct infinite families of critical points represented by Puiseux series in the problem dimension, and so obtain precise analytic estimates on the value of the objective function and the Hessian spectrum. The results allow an analytic characterization of various obstructions to using local optimization methods, revealing in particular a complex array of saddles and minima differing by their symmetry, structure and analytic properties. A~desirable phenomenon, occurring for all critical points considered, concerns the number of negative Hessian eigenvalues increasing with the value of the objective function. Our approach makes use of Newton polyhedra as well as results from real algebraic geometry, notably the Curve Selection Lemma, to determine the extremal character of degenerate critical points, establishing in particular the existence of infinite families of third-order saddles which can significantly slow down the optimization process.
• Abstract（参考訳）: 実対称テンソルの階数 1 項の和への分解に伴う非凸最適化問題を考える。 問題次元においてPuiseux級数で表される臨界点の無限族を構成するために、リッチ対称性構造を用いており、目的関数とヘッセンスペクトルの値に関する正確な解析的推定値を得る。 その結果、局所最適化法を用いて様々な障害の解析的特徴付けが可能となり、特に、その対称性、構造、解析的性質によって異なるサドルとミニマの複雑な配列が明らかにされた。 すべての臨界点に対して生じる望ましくない現象は、対象関数の値によって増加する負のヘッセン固有値の数を懸念する。 我々のアプローチはニュートン多面体と実際の代数幾何学、特に曲線選択補題の成果を利用して、退化臨界点の極端な性質を決定し、特に最適化過程を著しく遅くする3階サドルの無限の族の存在を確立する。

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