論文の概要: Adapting Newton's Method to Neural Networks through a Summary of
Higher-Order Derivatives
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.03885v1
- Date: Wed, 6 Dec 2023 20:24:05 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-12-08 16:51:06.419117
- Title: Adapting Newton's Method to Neural Networks through a Summary of
Higher-Order Derivatives
- Title（参考訳）: 高次微分の要約によるニューラルネットへのニュートン法の適用
- Authors: Pierre Wolinski
- Abstract要約: 関数 $boldsymboltheta$ に適用した勾配に基づく最適化法を考える。
このフレームワークは、勾配降下によるニューラルネットワークのトレーニングなど、多くの一般的なユースケースを含んでいる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We consider a gradient-based optimization method applied to a function
$\mathcal{L}$ of a vector of variables $\boldsymbol{\theta}$, in the case where
$\boldsymbol{\theta}$ is represented as a tuple of tensors $(\mathbf{T}_1,
\cdots, \mathbf{T}_S)$. This framework encompasses many common use-cases, such
as training neural networks by gradient descent. First, we propose a
computationally inexpensive technique providing higher-order information on
$\mathcal{L}$, especially about the interactions between the tensors
$\mathbf{T}_s$, based on automatic differentiation and computational tricks.
Second, we use this technique at order 2 to build a second-order optimization
method which is suitable, among other things, for training deep neural networks
of various architectures. This second-order method leverages the partition
structure of $\boldsymbol{\theta}$ into tensors $(\mathbf{T}_1, \cdots,
\mathbf{T}_S)$, in such a way that it requires neither the computation of the
Hessian of $\mathcal{L}$ according to $\boldsymbol{\theta}$, nor any
approximation of it. The key part consists in computing a smaller matrix
interpretable as a "Hessian according to the partition", which can be computed
exactly and efficiently. In contrast to many existing practical second-order
methods used in neural networks, which perform a diagonal or block-diagonal
approximation of the Hessian or its inverse, the method we propose does not
neglect interactions between layers. Finally, we can tune the coarseness of the
partition to recover well-known optimization methods: the coarsest case
corresponds to Cauchy's steepest descent method, the finest case corresponds to
the usual Newton's method.
- Abstract（参考訳）: 変数のベクトルの関数 $\mathcal{L}$ に適用される勾配に基づく最適化法を、$\boldsymbol{\theta}$ がテンソル $(\mathbf{T}_1, \cdots, \mathbf{T}_S)$ のタプルとして表される場合に考える。
このフレームワークは、勾配降下によるニューラルネットワークのトレーニングなど、多くの一般的なユースケースを含んでいる。
まず, テンソル$\mathbf{T}_s$ 上の高次情報, 特にテンソル $\mathbf{T}_s$ 間の相互作用について, 自動微分と計算手法に基づいて高次情報を提供する計算コスト手法を提案する。
第2に,この手法を順序2で使用し,様々なアーキテクチャの深層ニューラルネットワークの学習に適した2次最適化手法を構築した。
この二階法では、$\boldsymbol{\theta}$ の分割構造をテンソル $(\mathbf{t}_1, \cdots, \mathbf{t}_s)$ に利用し、$\boldsymbol{\theta}$ に従えば $\mathcal{l}$ のヘッセンの計算も必要としない。
鍵となる部分は、より小さな行列を「分割に従ってヘッセン」と解釈し、正確に効率的に計算できる計算である。
ヘシアンあるいはその逆の対角あるいはブロック対角近似を行うニューラルネットワークで用いられる多くの既存の実用的二階法とは対照的に、提案手法は層間の相互作用を無視しない。
最後に、分割の粗さを調整してよく知られた最適化手法を復元することができる: 粗いケースはコーシーの最も急降下法に対応し、最も細かいケースは通常のニュートン法に対応している。
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