論文の概要: Integration of physics-informed operator learning and finite element
method for parametric learning of partial differential equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.02363v1
- Date: Thu, 4 Jan 2024 17:01:54 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-01-05 14:33:27.779990
- Title: Integration of physics-informed operator learning and finite element
method for parametric learning of partial differential equations
- Title（参考訳）: 偏微分方程式のパラメトリック学習のための物理形演算子学習と有限要素法の統合
- Authors: Shahed Rezaei, Ahmad Moeineddin, Michael Kaliske, Markus Apel
- Abstract要約: 本稿では,偏微分方程式の解法として物理インフォームド・ディープラーニング手法を用いる手法を提案する。
その焦点は、相コントラストが顕著である不均一固体中の定常熱方程式である。
提案手法を標準有限要素法と比較し,正確かつ高速な予測法を示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We present a method that employs physics-informed deep learning techniques
for parametrically solving partial differential equations. The focus is on the
steady-state heat equations within heterogeneous solids exhibiting significant
phase contrast. Similar equations manifest in diverse applications like
chemical diffusion, electrostatics, and Darcy flow. The neural network aims to
establish the link between the complex thermal conductivity profiles and
temperature distributions, as well as heat flux components within the
microstructure, under fixed boundary conditions. A distinctive aspect is our
independence from classical solvers like finite element methods for data. A
noteworthy contribution lies in our novel approach to defining the loss
function, based on the discretized weak form of the governing equation. This
not only reduces the required order of derivatives but also eliminates the need
for automatic differentiation in the construction of loss terms, accepting
potential numerical errors from the chosen discretization method. As a result,
the loss function in this work is an algebraic equation that significantly
enhances training efficiency. We benchmark our methodology against the standard
finite element method, demonstrating accurate yet faster predictions using the
trained neural network for temperature and flux profiles. We also show higher
accuracy by using the proposed method compared to purely data-driven approaches
for unforeseen scenarios.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,偏微分方程式をパラメトリックに解くための物理インフォームド深層学習手法を提案する。
その焦点は、相コントラストが著しい不均一固体中の定常熱方程式である。
同様の方程式は化学拡散、静電気、ダーシー流などの様々な応用に現れる。
ニューラルネットワークは、複雑な熱伝導率プロファイルと温度分布、およびミクロ構造内の熱流束成分との、一定の境界条件下でのリンクを確立することを目的としている。
データに対する有限要素法のような古典的な解法とは独立である。
注目すべき貢献は、制御方程式の離散化弱形式に基づいて損失関数を定義する新しいアプローチにある。
これは微分の必要な順序を減少させるだけでなく、選択された離散化法から潜在的な数値誤差を受け入れて損失項の構成における自動微分の必要性をなくす。
結果として、この研究における損失関数は、トレーニング効率を著しく向上させる代数方程式である。
本手法を標準有限要素法に対してベンチマークし,温度およびフラックスプロファイルのトレーニングニューラルネットワークを用いて高精度かつ高速な予測を行う。
また,提案手法を想定しないシナリオに対する純粋データ駆動アプローチと比較し,高い精度を示す。
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