論文の概要: Conditional Independence of 1D Gibbs States with Applications to Efficient Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2402.18500v2
• Date: Tue, 28 May 2024 13:57:26 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-05-30 01:18:48.183040
• Title: Conditional Independence of 1D Gibbs States with Applications to Efficient Learning
• Title（参考訳）: 1Dギブス状態の条件付き独立と効率的な学習への応用
• Authors: Paul Gondolf, Samuel O. Scalet, Alberto Ruiz-de-Alarcon, Alvaro M. Alhambra, Angela Capel,
• Abstract要約: 熱平衡におけるスピン鎖は, 個々の領域が近傍に強く相関する相関構造を持つことを示す。 これらの測度が任意の正の温度で超指数的に崩壊することを証明している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.23301643766310368
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We show that spin chains in thermal equilibrium have a correlation structure in which individual regions are strongly correlated at most with their near vicinity. We quantify this with alternative notions of the conditional mutual information defined through the so-called Belavkin-Staszewski relative entropy. We prove that these measures decay superexponentially at every positive temperature, under the assumption that the spin chain Hamiltonian is translation-invariant. Using a recovery map associated with these measures, we sequentially construct tensor network approximations in terms of marginals of small (sublogarithmic) size. As a main application, we show that classical representations of the states can be learned efficiently from local measurements with a polynomial sample complexity. We also prove an approximate factorization condition for the purity of the entire Gibbs state, which implies that it can be efficiently estimated to a small multiplicative error from a small number of local measurements. The results extend from strictly local to exponentially-decaying interactions above a threshold temperature, albeit only with exponential decay rates. As a technical step of independent interest, we show an upper bound to the decay of the Belavkin-Staszewski relative entropy upon the application of a conditional expectation.
• Abstract（参考訳）: 熱平衡におけるスピン鎖は, 個々の領域が近傍に強く相関する相関構造を持つことを示す。 我々はこれを、いわゆるBelavkin-Staszewski相対エントロピーによって定義される条件付き相互情報の代替概念で定量化する。 スピン鎖ハミルトニアンが変換不変であるという仮定の下で、これらの測度が任意の正の温度で超指数的に崩壊することを証明する。 これらの測度に付随するリカバリマップを用いて、小さな(サブ対数的な)大きさの辺りの点でテンソルネットワーク近似を逐次構築する。 主な応用として, 多項式サンプル複雑性を用いた局所的な測定から, 状態の古典的表現を効率的に学習できることが示されている。 また,ギブス状態全体の純度について近似分解条件を証明し,少数の局所測定値から小さな乗算誤差に効率的に推定できることを示唆した。 結果は厳密な局所から、指数関数的に低下する相互作用をしきい値温度以上まで延長する。 独立な関心の技術的ステップとして、条件付き予想の適用によるベラブキン・シュタゼフスキ相対エントロピーの崩壊への上限を示す。

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