論文の概要: A finite element-based physics-informed operator learning framework for spatiotemporal partial differential equations on arbitrary domains
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.12465v2
- Date: Wed, 22 May 2024 05:53:13 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-05-24 12:47:38.067373
- Title: A finite element-based physics-informed operator learning framework for spatiotemporal partial differential equations on arbitrary domains
- Title（参考訳）: 任意の領域上の時空間偏微分方程式に対する有限要素に基づく物理インフォームド演算子学習フレームワーク
- Authors: Yusuke Yamazaki, Ali Harandi, Mayu Muramatsu, Alexandre Viardin, Markus Apel, Tim Brepols, Stefanie Reese, Shahed Rezaei,
- Abstract要約: 偏微分方程式(PDE)によって支配される力学を予測できる新しい有限要素に基づく物理演算子学習フレームワークを提案する。
提案した演算子学習フレームワークは、現在の時間ステップで温度場を入力として、次の時間ステップで温度場を予測する。
ネットワークは、FEM溶液と比較して、任意の初期温度場の時間的変化を高精度に予測することに成功した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 33.7054351451505
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We propose a novel finite element-based physics-informed operator learning framework that allows for predicting spatiotemporal dynamics governed by partial differential equations (PDEs). The proposed framework employs a loss function inspired by the finite element method (FEM) with the implicit Euler time integration scheme. A transient thermal conduction problem is considered to benchmark the performance. The proposed operator learning framework takes a temperature field at the current time step as input and predicts a temperature field at the next time step. The Galerkin discretized weak formulation of the heat equation is employed to incorporate physics into the loss function, which is coined finite operator learning (FOL). Upon training, the networks successfully predict the temperature evolution over time for any initial temperature field at high accuracy compared to the FEM solution. The framework is also confirmed to be applicable to a heterogeneous thermal conductivity and arbitrary geometry. The advantages of FOL can be summarized as follows: First, the training is performed in an unsupervised manner, avoiding the need for a large data set prepared from costly simulations or experiments. Instead, random temperature patterns generated by the Gaussian random process and the Fourier series, combined with constant temperature fields, are used as training data to cover possible temperature cases. Second, shape functions and backward difference approximation are exploited for the domain discretization, resulting in a purely algebraic equation. This enhances training efficiency, as one avoids time-consuming automatic differentiation when optimizing weights and biases while accepting possible discretization errors. Finally, thanks to the interpolation power of FEM, any arbitrary geometry can be handled with FOL, which is crucial to addressing various engineering application scenarios.
- Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)によって支配される時空間力学を予測できる,有限要素に基づく物理インフォームド演算子学習フレームワークを提案する。
提案フレームワークは、有限要素法(FEM)にヒントを得た損失関数と、暗黙のオイラー時間積分方式を用いる。
過渡的な熱伝導問題は、性能をベンチマークするために考慮される。
提案した演算子学習フレームワークは、現在の時間ステップで温度場を入力として、次の時間ステップで温度場を予測する。
熱方程式の離散化弱定式化は、有限作用素学習(FOL)と呼ばれる損失関数に物理学を組み込むために用いられる。
トレーニング中、ネットワークは、FEM溶液と比較して高い精度で初期温度場の時間的変化を予測することに成功した。
この枠組みは、不均一な熱伝導率と任意の幾何学にも適用可能であることが確認されている。
まず、トレーニングは教師なしの方法で行われ、コストのかかるシミュレーションや実験で準備された大規模なデータセットが不要になる。
代わりに、ガウス乱数過程とフーリエ級数によって生成されたランダムな温度パターンと一定の温度場が組み合わさって起こりうる温度ケースをカバーするためのトレーニングデータとして使用される。
第二に、整形関数と後方差分近似が領域の離散化に利用され、純粋に代数方程式となる。
これにより、重みとバイアスを最適化する際の時間を要する自動微分を回避し、識別エラーを許容しながら、トレーニング効率を高めることができる。
最後に、FEMの補間力のおかげで、任意の幾何学はFOLで扱える。
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