論文の概要: Convergence of the Deep Galerkin Method for Mean Field Control Problems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.13346v1
- Date: Wed, 22 May 2024 05:06:57 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-05-25 01:24:25.592339
- Title: Convergence of the Deep Galerkin Method for Mean Field Control Problems
- Title（参考訳）: 平均場制御問題に対するディープ・ガレルキン法の収束性
- Authors: William Hofgard, Jingruo Sun, Asaf Cohen,
- Abstract要約: 我々は高次元非線形PDEを解くためのディープ・ガレルキン法(DGM)の収束性を確立する。
MFCPの値関数が十分な正則性を持つので、DGMの損失関数を任意に小さくすることができることを示す。
また,DGMの高次元HJB方程式への一般化能力を示す数値実験を行った。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.262982510921015
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We establish the convergence of the deep Galerkin method (DGM), a deep learning-based scheme for solving high-dimensional nonlinear PDEs, for Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations that arise from the study of mean field control problems (MFCPs). Based on a recent characterization of the value function of the MFCP as the unique viscosity solution of an HJB equation on the simplex, we establish both an existence and convergence result for the DGM. First, we show that the loss functional of the DGM can be made arbitrarily small given that the value function of the MFCP possesses sufficient regularity. Then, we show that if the loss functional of the DGM converges to zero, the corresponding neural network approximators must converge uniformly to the true value function on the simplex. We also provide numerical experiments demonstrating the DGM's ability to generalize to high-dimensional HJB equations.
- Abstract（参考訳）: 我々は、平均場制御問題(MFCP)の研究から生じるハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式(HJB)に対して、高次元非線形PDEを解くためのディープラーニングベースのスキームであるディープ・ガレルキン法(DGM)の収束を確立する。
近年,MFCP の値関数を単純体上の HJB 方程式の特異な粘性解として特徴づけることから,DGM の存在と収束結果の両立を図った。
まず、MFCPの値関数が十分な正則性を持つので、DGMの損失関数を任意に小さくすることができることを示す。
そして、DGMの損失関数が0に収束した場合、対応するニューラルネットワーク近似器は、単純度上の真の値関数に一様に収束しなければならないことを示す。
また,DGMの高次元HJB方程式への一般化能力を示す数値実験を行った。
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