論文の概要: Complexity is not Enough for Randomness
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.17546v2
- Date: Sun, 06 Oct 2024 16:10:15 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-10-08 13:10:03.174311
- Title: Complexity is not Enough for Randomness
- Title（参考訳）: 複雑さはランダムさにはほど遠い
- Authors: Shiyong Guo, Martin Sasieta, Brian Swingle,
- Abstract要約: ブラウン系におけるランダムネスの動的生成を、ハミルトニアンの局所性の度合いの関数として研究する。
高度に非局所的な時間依存ハミルトニアンによって支配されるシステムであっても、ランダムネスの生成はシステムサイズにおいて指数関数的に長時間持続する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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- Abstract: We study the dynamical generation of randomness in Brownian systems as a function of the degree of locality of the Hamiltonian. We first express the trace distance to a unitary design for these systems in terms of an effective equilibrium thermal partition function, and provide a set of conditions that guarantee a linear time to design. We relate the trace distance to design to spectral properties of the time-evolution operator. We apply these considerations to the Brownian $p$-SYK model as a function of the degree of locality $p$. We show that the time to design is linear, with a slope proportional to $1/p$. We corroborate that when $p$ is of order the system size this reproduces the behavior of a completely non-local Brownian model of random matrices. For the random matrix model, we reinterpret these results from the point of view of classical Brownian motion in the unitary manifold. Therefore, we find that the generation of randomness typically persists for exponentially long times in the system size, even for systems governed by highly non-local time-dependent Hamiltonians. We conjecture this to be a general property: there is no efficient way to generate approximate Haar random unitaries dynamically, unless a large degree of fine-tuning is present in the ensemble of time-dependent Hamiltonians. We contrast the slow generation of randomness to the growth of quantum complexity of the time-evolution operator. Using known bounds on circuit complexity for unitary designs, we obtain a lower bound determining that complexity grows at least linearly in time for Brownian systems. We argue that these bounds on circuit complexity are far from tight and that complexity grows at a much faster rate, at least for non-local systems.
- Abstract（参考訳）: ブラウン系におけるランダムネスの動的生成を、ハミルトニアンの局所性の度合いの関数として研究する。
まず, 有効平衡熱分割関数を用いて, これらのシステムに対する一元的設計へのトレース距離を表現し, 設計に線形時間を保証する条件のセットを提供する。
時間進化作用素のスペクトル特性を設計に関連付ける。
これらの考察を、局所性の次数$p$の関数としてブラウンの$p$-SYKモデルに適用する。
設計時間は線形であり、勾配は1/p$に比例する。
我々は、$p$が順序のシステムサイズであるとき、これはランダム行列の完全に非局所ブラウンモデルの振舞いを再現する、と相関する。
ランダム行列モデルに対しては、これらの結果をユニタリ多様体の古典的ブラウン運動の観点から再解釈する。
したがって、高度に局所的な時間依存的ハミルトニアンによって支配されるシステムであっても、ランダムネスの生成は通常、システムサイズにおいて指数関数的に長時間持続する。
時間依存ハミルトニアンのアンサンブルに大量の微調整がない限り、近似ハール乱ユニタリを動的に生成する効率的な方法はない。
時間進化作用素の量子複雑性の増大に対してランダム性の遅い生成は対照的である。
ユニタリ設計における回路複雑性の既知境界を用いて、ブラウン系において、複雑性が少なくとも線形に増加すると判定する下界を求める。
我々は、回路複雑性のこれらの境界は厳密なものではなく、少なくとも非局所的なシステムでは、複雑さはより高速な速度で増大すると主張している。
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