論文の概要: A Sound and Complete Equational Theory for 3-Qubit Toffoli-Hadamard Circuits
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.11152v2
- Date: Fri, 19 Jul 2024 18:41:14 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-07-24 00:12:27.263363
- Title: A Sound and Complete Equational Theory for 3-Qubit Toffoli-Hadamard Circuits
- Title（参考訳）: 3Qubit Toffoli-Hadamard回路の音場と完全等式理論
- Authors: Matthew Amy, Neil J. Ross, Scott Wesley,
- Abstract要約: X, CX, CCX, K をToffoli-Hadamard ゲート集合とする3量子量子回路の完全方程式理論を与える。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.8192907805418581
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We give a sound and complete equational theory for 3-qubit quantum circuits over the Toffoli-Hadamard gate set $\{ X, CX, CCX, H \}$. That is, we introduce a collection of true equations among Toffoli-Hadamard circuits on three qubits that is sufficient to derive any other true equation between such circuits. To obtain this equational theory, we first consider circuits over the Toffoli-$K$ gate set $\{ X, CX, CCX, K \}$, where $K=H\otimes H$. The Toffoli-Hadamard and Toffoli-$K$ gate sets appear similar, but they are crucially different on exactly three qubits. Indeed, in this case, the former generates an infinite group of operators, while the latter generates the finite group of automorphisms of the well-known $E_8$ lattice. We take advantage of this fact, and of the theory of automorphism groups of lattices, to obtain a sound and complete collection of equations for Toffoli-$K$ circuits. We then extend this equational theory to one for Toffoli-Hadamard circuits by leveraging prior work of Li et al. on Toffoli-Hadamard operators.
- Abstract（参考訳）: Toffoli-Hadamard ゲート集合 $\{ X, CX, CCX, H \}$ 上の3量子量子回路に対して、音と完全方程式理論を与える。
すなわち、3つの量子ビット上のトフォリ・ハダマール回路間の真の方程式の集まりを導入し、そのような回路間の他の真の方程式を導出するのに十分である。
この方程式論を得るために、まずトフォリ-$K$ゲート集合 $\{ X, CX, CCX, K \}$ 上の回路を考える。
Toffoli-Hadamard と Toffoli-$K$ ゲート集合は似ているが、それらは正確に3つのキュービットで決定的に異なる。
実際、この場合、前者は作用素の無限群を生成し、後者はよく知られた$E_8$格子の自己同型有限群を生成する。
この事実と格子の自己同型群の理論を利用して、トフォリ=K$回路の健全かつ完全な方程式の集合を得る。
次に、この方程式理論をトフォリ・ハダード回路に拡張し、トフォリ・ハダード作用素上のLi と al の以前の仕事を活用する。
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