Fugu-MT 論文翻訳(概要): On the dynamical Lie algebras of quantum approximate optimization algorithms

論文の概要: On the dynamical Lie algebras of quantum approximate optimization algorithms

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.12587v1
Date: Wed, 17 Jul 2024 14:12:30 GMT
ステータス: 処理完了
システム内更新日: 2024-07-18 16:56:39.814868
Title: On the dynamical Lie algebras of quantum approximate optimization algorithms
Title（参考訳）: 量子近似最適化アルゴリズムの動的リー代数について
Authors: Jonathan Allcock, Miklos Santha, Pei Yuan, Shengyu Zhang,
Abstract要約: 動的リー代数(DLAs)は、パラメータ化量子回路の研究において貴重な道具として登場した。本研究では,量子近似最適化アルゴリズム(QAOA)のDLAについて検討する。 DLAの次元が$O(n3)$であることを示し、DLAの明示的な基底を与える。
参考スコア（独自算出の注目度）: 4.987686869768721
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: Dynamical Lie algebras (DLAs) have emerged as a valuable tool in the study of parameterized quantum circuits, helping to characterize both their expressiveness and trainability. In particular, the absence or presence of barren plateaus (BPs) -- flat regions in parameter space that prevent the efficient training of variational quantum algorithms -- has recently been shown to be intimately related to quantities derived from the associated DLA. In this work, we investigate DLAs for the quantum approximate optimization algorithm (QAOA), one of the most studied variational quantum algorithms for solving graph MaxCut and other combinatorial optimization problems. While DLAs for QAOA circuits have been studied before, existing results have either been based on numerical evidence, or else correspond to DLA generators specifically chosen to be universal for quantum computation on a subspace of states. We initiate an analytical study of barren plateaus and other statistics of QAOA algorithms, and give bounds on the dimensions of the corresponding DLAs and their centers for general graphs. We then focus on the $n$-vertex cycle and complete graphs. For the cycle graph we give an explicit basis, identify its decomposition into the direct sum of a $2$-dimensional center and a semisimple component isomorphic to $n-1$ copies of $su(2)$. We give an explicit basis for this isomorphism, and a closed-form expression for the variance of the cost function, proving the absence of BPs. For the complete graph we prove that the dimension of the DLA is $O(n^3)$ and give an explicit basis for the DLA.
Abstract（参考訳）: 動的リー代数(DLAs)は、パラメータ化量子回路の研究において重要なツールとして登場し、それらの表現性と訓練性の両方を特徴づけている。特に、変分量子アルゴリズムの効率的な訓練を妨げるパラメータ空間の平坦領域であるバレンプラトー(BPs)の欠如や存在は、最近、関連するDLAから派生した量と密接に関連していることが示されている。本研究では,量子近似最適化アルゴリズム(QAOA)のDLAについて検討する。 QAOA回路のDLAは以前にも研究されてきたが、既存の結果は数値的な証拠に基づいているか、あるいは状態のサブ空間における量子計算の普遍性に特化して選択されたDLA生成物に対応している。我々は、バレンプラトーやQAOAアルゴリズムの統計統計分析を開始し、対応するDLAの次元とその一般グラフに対する中心について境界を与える。次に、$n$-vertexサイクルと完全なグラフに焦点を当てます。サイクルグラフに対して、明示的な基底を与え、その分解を 2$-次元中心の直和と半単純成分への分解を$su(2)$の$n-1$コピーに同型とする。我々は、この同型性の明示的な基底と、コスト関数の分散に対する閉形式表現を与え、BPが存在しないことを証明した。完備グラフに対して、DLAの次元が$O(n^3)$であることを示し、DLAの明示的な基底を与える。

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