論文の概要: Chernoff Bounds for Tensor Expanders on Riemannian Manifolds Using Graph Laplacian Approximation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2408.11276v1
- Date: Wed, 21 Aug 2024 01:59:27 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-08-22 18:48:55.541020
- Title: Chernoff Bounds for Tensor Expanders on Riemannian Manifolds Using Graph Laplacian Approximation
- Title（参考訳）: グラフラプラシアン近似を用いたリーマン多様体上のテンソルエクスパンダーのチャーノフ境界
- Authors: Shih-Yu Chang,
- Abstract要約: 本稿では,確率末尾境界解析の進歩について述べる。
マルコフ境界、チェビシェフ境界、チェルノフ境界のような伝統的な尾の境界は、多くの科学・工学分野において有益であることが証明されている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.2533084621250143
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: This paper addresses the advancement of probability tail bound analysis, a crucial statistical tool for assessing the probability of large deviations of random variables from their expected values. Traditional tail bounds, such as Markov's, Chebyshev's, and Chernoff bounds, have proven valuable across numerous scientific and engineering fields. However, as data complexity grows, there is a pressing need to extend tail bound estimation from scalar variables to high-dimensional random objects. Existing studies often rely on the assumption of independence among high-dimensional random objects, an assumption that may not always be valid. Building on the work of researchers like Garg et al. and Chang, who employed random walks to model high-dimensional ensembles, this study introduces a more generalized approach by exploring random walks over manifolds. To address the challenges of constructing an appropriate underlying graph for a manifold, we propose a novel method that enhances random walks on graphs approximating the manifold. This approach ensures spectral similarity between the original manifold and the approximated graph, including matching eigenvalues, eigenvectors, and eigenfunctions. Leveraging graph approximation technique proposed by Burago et al. for manifolds, we derive the tensor Chernoff bound and establish its range for random walks on a Riemannian manifold according to the underlying manifold's spectral characteristics.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,予測値から確率変数の大きな偏差の確率を評価するための重要な統計ツールである確率尾境界解析の進歩について述べる。
マルコフ境界、チェビシェフ境界、チェルノフ境界のような伝統的な尾の境界は、多くの科学・工学分野において有益であることが証明されている。
しかし、データの複雑さが増大するにつれて、スカラー変数から高次元ランダムオブジェクトへのテールバウンド推定を拡張する必要がある。
既存の研究はしばしば高次元ランダムオブジェクト間の独立性の仮定に依存しており、これは必ずしも有効とは限らない。
この研究は、高次元のアンサンブルをモデル化するためにランダムウォークを用いたGarg et alやChangといった研究者の研究に基づいており、多様体上のランダムウォークを探索することでより一般化されたアプローチを導入している。
多様体に対する適切な基礎グラフを構築することの課題に対処するため、多様体を近似したグラフ上のランダムウォークを強化する新しい手法を提案する。
このアプローチは、固有値、固有ベクトル、固有関数を含む元の多様体と近似グラフの間のスペクトル的類似性を保証する。
ブルゴーグらによって提案された多様体に対するグラフ近似手法を利用して、テンソルチャーノフ境界を導出し、基礎多様体のスペクトル特性に応じてリーマン多様体上のランダムウォークの範囲を確立する。
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